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发表于 2008-1-12 11:56:26
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来自： 中国上海
) S8 u! d, x9 V5 ]" ]9 m. k Q
- U g6 W9 i5 V5 D& ?# s证明如下：
! D8 t! N9 V: p& M6 n" n& J% j# d
- B, q# y" S8 u& r5 X设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!] 后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!
: H% _, v: }0 H1 F1 L( E
+ i3 w$ }0 E5 n* u4 A, J7 r此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。
4 L- m6 Y& k, f1 U8 S- r
" X' A8 X, `1 p: uf(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续8 m% {+ A. X2 G7 S. z s
8 l& l4 Q8 J* r. Q- ?. K3 e5 \! D n
令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。' F3 S7 s" k) @: s/ c$ T
) b. O* }! H) G8 _1 X
这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。
9 B H! ]* g+ D7 b+ l/ l
* u8 e. ~+ _, F, [4 [) o由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T
! L/ p( g1 V; f& B' D% U8 P5 f, Z5 E
由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负0 E, f* q3 _+ G9 n! {: \
4 S8 _+ w( Q0 T) [' w& R
当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加
9 T. [% O7 M N Z5 A( g: }当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少
- I3 T& J, e3 q4 _" K7 p( B8 _) Z _1 v) ]( q9 M
所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。 |
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