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发表于 2008-1-12 11:56:26
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来自： 中国上海
. t( A) q$ s7 e* }7 Z/ ?: I* n* m, J& S4 P' y$ |6 x: V
证明如下：: @- G7 b7 r+ G- H" ~% v- J; y9 M
5 U @% E0 U! C设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!] 后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!" f, {3 [# J' o/ Y# k! |& Q. t: _
: G( O2 `* M+ X( U( f( _: j0 X
此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。7 i/ n) v# T' U2 |, e
8 j0 v& I5 w8 U2 q$ W
f(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续( ~0 t% r1 w4 a& s: T2 Q
& V I1 ], b! N, y1 d令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。3 e+ b4 t5 h7 I9 P
+ w7 t4 M2 N. x8 T5 e7 ~这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。
' \$ }4 a' v% j4 T7 \! }& H# u! F% i4 H9 V, w8 f) d' u
由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T
0 e% Q5 M) q" C$ V8 W" a- Q
* i& l6 H# s) x9 z. R9 y由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负8 G3 B: w7 e' y4 h0 P7 i7 {0 t. z
$ Y& y+ c+ U3 D+ y2 ?4 l' H当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加
! @7 ~; `: m% q0 F4 x当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少* z7 J6 u& H# g. z- a0 b' _5 G2 p
1 E9 V' W; ~. R; R所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。 |
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