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发表于 2010-4-14 16:20:20
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来自： 中国湖南长沙
很多朋友对于曲面中的G0、G1、G2…不是很理解，因为曲面都是由曲线通过拉伸、扫描或者边界混合等而成，所以我在这里先对曲线和曲率作一些分析，从而帮助大家加深对曲面曲率的理解。- t/ ^% Q$ z* f" t( q# ~! q
# r* L( ~& a+ Y) p3 [3 I一、 曲率的定义：以平面（二维）曲线为例，曲线就是连续的点的集合。通过曲线上每一个点作出该曲线的切线，该切线与X轴的夹角称之为曲线在该点的斜度，从微分学的角度看，在该曲线上与上一个点相距无限小的另一个点的也有它的斜度，这两个不同点的斜度的变化率称之为斜率，而平面曲线曲率的精确定义是曲线上某一点与向前延伸的另一点（两者相距无限小）的曲率半径的变化率。曲线斜率和曲线曲率可以等同看待，不过前者可以引寻出微分学中的求导来，而后者的几何概念更让人容易理解。9 X4 v- M/ ^8 b* K, m
二、 在笛卡儿坐标系中，平行于X轴的任一直线上的任意点的斜度均为零，斜率也为零，而从曲率半径上意义上看，每一点上的曲率半径均为无穷大，曲率也为零。平行于Y轴的任一直线上的任意点的斜度均为九十度，斜率也为零；而从曲率半径上意义上看，每一点上的曲率半径均为无穷大，曲率也为零。与X轴成某一角度例如50度的任一直线上的任意点的斜度均为50度，斜率也为零；而从曲率半径上意义上看，每一点上的曲率半径均为无穷大，曲率也为零。
! v6 n, p& I1 d+ X8 V& k2 Y$ d/ u三、 在笛卡儿坐标系中，任意一段半径为R的圆弧或者一个整圆，在它的连续点上的斜度不同，但它们增加或者减少的的趋势是一个常数，那么这段圆弧或者圆的任意点的斜率也为零；而从曲率半径上意义上看，每一点上的曲率半径就等于它的半径，曲率也为零。
- D3 m E5 `; j K0 d+ a% u四、 在笛卡儿坐标系中，任意一段二次方程曲线（比如Y=AX2+BX+C）中的任意一点的曲率为（对F（X）求导得到）AX+B；任意一段三次方程曲线（比如Y=AX3+BX2+CX+D）中的任意一点的曲率为（对F（X）求导得到）AX2+BX+C；四次方程曲线和五次方程曲线等均以此类推。
8 h, n! [0 W( }9 M/ B, S3 B/ ?8 k" x五、 对于一段三次方程曲线，它的曲率就是一段二次方程曲线，因此曲率是连续的；而它的曲率的变化率就是对其二次求导，得出一个一次方程曲线，因此曲率的变化率也是连续的，这种曲线称为C2，对应于曲面就是G2；3 n! P. B8 J9 \$ W/ H" L6 t8 V
六、 一条直线与圆弧相切连接的复合曲线或者两段不同半径圆弧相切的复合曲线，在相切处的曲率是不连续的，故这种复合曲线称之为C0，对应于曲面就是G0；
* K7 |" k, p* h, Z- B8 I' M七、 对于一段二次方程曲线，它的曲率就是一段一次方程曲线（直线），因此曲率是连续的；而它的曲率的变化率就是对其二次求导，得出一个常数，因此曲率的变化率为零，如果两段不同的二次方程曲线相切组成一条复合曲线，这种复合曲线在相切处的二阶导数为不同值的常数，因此相切处不连续，称为C1，对应于曲面就是G1；- s4 _3 Z: a) c4 a+ k5 V7 [, I
八、 对于正弦函数曲线，对其求导得出余弦函数曲线，再求导又是正弦函数曲线，这样反复；因此正弦函数曲线和余弦函数曲线可以是C3、C4、C5，对应于曲面就是G3、G4、G5；这类曲线所形成的曲面应该是最光滑的曲面。
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TZY写于2008-4-27 |
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