CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

# @6 w+ U4 j0 x( ~: f+ a% t' _! l

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
  _3 C4 w% T) @! Y$ ^% P- z, V请教大师，为什么ag是中垂线呢？

* q4 {2 u4 c7 I
2 E3 @& y! z7 Q  Z+ a5 Z8 a! q4 `" T) N这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
9 Q' A+ \0 w2 t& Z& M
1 I0 F6 \3 P( N6 ^/ r

gongwen0519

: l% n4 j( Y! i$ r) S
倡导纯几何作法：
1 a- i% b' Y6 t; G

) [" m% Y' s! |- A4 e' Y一、主体部分：


* n7 e' g" ^' h; A  w* Y% R

$ Y1 q+ B! y1 S
二、小篮部分：
  B. V  A6 u# h- w( f- `( V
9 {% C$ Z- t: E& n; {; g' t# T




7 ]. u5 G& ?6 v  ~* N* A
1 `0 N5 Q7 G4 n. @
4 w$ Y  F$ r4 V) k

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
3 E7 [" i4 p5 Z5 I+ X大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
. z/ d/ _3 q/ z( s2 [


: D4 V7 A6 n8 o% [  Q* n1 x其中各次系数分别如下：

A8=4096*(a-b)^4
/ V" `  M+ a- @% K
A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
. l$ _; L% P* C: ?! _$ g
A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
* j- R2 {. I( ^+ l3 o$ W: }5 D2 f
- q: I2 X9 t5 gA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
4 B8 O: `; i) P. t5 s  h- \  `$ A& W
A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
: [! w$ l$ h7 s* W- C
A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
6 b9 l  X/ T% J3 [. m
2 N2 m) p7 L% p1 a: \8 @1 M) NA2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

* x0 A/ J5 |6 q9 l( ~4 HA1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
% ^0 W2 S+ c1 R/ I
; `2 S% p0 H9 K5 \A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2
5 N) l0 x" z) n0 e' D$ k3 y7 V
2 _/ ^  C( W/ v
. [) C! X' u# w3 k

1. A8=4096*(a-b)^4
   
2. 
   
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   2 c7 y5 J' K6 g: F* b" n
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   - l7 d( t- H$ L* N  \8 F4 b( e6 u1 Y
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   
10. 
    ( M: _0 O; F; \* U% B2 ^
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    7 |5 z: e, ]0 x& |7 h* _3 w. {
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    7 h6 Y4 T$ G/ x
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

& ]4 H- q4 H1 x- P. C9 g

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
2 b6 B  {) g# g8 e& h一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

9 D8 I0 w6 V; D+ t) z) q! x  A多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
/ {' K" F& s7 Y0 d. `$ {. N0 U; Y我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

2 `6 U5 q( a- C2 Z4 O, z. ?不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
( E6 [0 }5 _9 c5 c不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

朋友，请仔细看原题目图示中心线。
. f. o6 }: q$ P. f% m6 Z8 V6 ?: s另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
. S! Z% `# M* X3 p6 ]4 J另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
% T5 `$ N/ q5 p7 s& J* m( k3 M( D2不和a相切，不会过定义，

圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
& C& R' S8 V: ^8 i# n圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
( |6 |9 V$ W; u* g你按我说的画，面积就应该对了。

! h7 t( B- @9 z% u- X1 o我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
5 s& P% N* Q# \" w我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
( g* q# S* ^- E; h, |+ M这与美不美无关了。

gongwen0519

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
2 [( \: ]9 d( [  A: v这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：

; f# H, a* l, z) [
# d. ?$ ?# H4 @; w, H  G7 q# K

gongwen0519

图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
* W( M8 Y1 d8 K, M. Z

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
9 q4 `- ^# d1 r' U# D: g5 q& {3 |四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答