求圆环体的体积计算公式，比如O型圈

hux0730

有例题如下所示，但我要求的是：求由圆（半径为r）绕y轴旋转一周所得环状立体的体积，设圆心距y轴的距离为R．
我用积分公式推导了半天，怎么也搞不出来。
7 D9 ^3 V9 r9 d* _( Y; q体积应该为int(sqrt(-x^2+2*R*x-(R^2-r^2))*x,R-r,R+r)
! I: N' X  J2 y与一般所说的2*pi*R*pi*r^2，化简为2*pi^2*R*r^2有没有差距？

补充内容 (2012-10-7 20:55):
问题已解决，请看10楼提供的方法。

hux0730

! l5 e. l0 H# y0 v1 C; n
从维基百科中查到一个 古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理，链接见：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%88%BE%E4%B8%81%E5%AE%9A%E7%90%86
由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，等于平面形状面积http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png乘以平面形状的几何中心经过的距离http://upload.wikimedia.org/math/9/7/5/975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png的积http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18d19fad3c95ade1c4967ec502a0284.png。
: k1 n% G8 U0 |
从英文解释中看到：

the volume of the torus with minor radius r and major radius R is

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17570773cdcdac01efba7acb0477828.png

celia

用CAD画出来，测量一下体积就行了。
; L" e( p7 r1 i或者查手册，上面就有各种形状体积计算公式

hzzpy

随便用个三维软件 绘制后可自动计算出体积的，不仅仅是规则形状体，不规则的也可以计算出
+ b1 {4 E8 m! K  S* f如PROE  SOLIDWORKS等都可以

TKG-09

V=2π^2 r^2 R

gaoyns

圆环体的体积也可用下式计算：
1 ^9 C& X. D* R0 g# ~/ L( j) r* ~V=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
1 N. @1 c0 {) I7 `! I% l1 S1 D式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直径。

l231463xg1

对我很有帮助，谢谢

hux0730

gaoyns 发表于 2012-9-22 10:42 static/image/common/back.gif
圆环体的体积也可用下式计算：
  b1 }2 c, {/ S: o! XV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
4 v( y4 e, @% T% b式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直 ...

这个公式与4楼的公式是一样的，
2*pi^2/4/2= 2.4674。

我在开篇的时候也提到了这个公式，2*pi^2*R*r^2。

4 B) Z. y/ W% r4 V. s# n0 O诸位都是工程师啊，不习惯数学推导，习惯引经据典找到答案的依据。看来这个数学问题不好解了。

wwll13

你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-25 09:18 static/image/common/back.gif
你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：

任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入，整理得到2arcosθ＋2brsinθ＝r^2＋a^2＋b^2－R^2。
不过这样的表示方法很麻烦，用极坐标表示的话极点一般不选在原点，有以下两种常用的选择：
1）极点选在圆心，这样就令a和b都为0，可将方程化简为r＝R，θ∈〔0，2π）；
: q( j( W" Z5 K1 q& e5 u* P& s2）极点选圆上一点，圆心在极轴上，则方程为r＝2Rcosθ，θ∈〔－π/2，π/2〕；
8 K) i8 J1 k; d4 L0 c- l: h; O8 c7 Z- N* o3）极点选圆上一点，极轴为圆的切线，则方程为r＝2Rsinθ，θ∈〔0，π〕；
根据不同的用法选不同的极点。
+ I2 Y  Z6 V# A' ?& |+ P
基本说来，1、2、3三种情况用直角坐标系与用极坐标没有区别。而我说的圆环体积应该不是这样这三种情况中的一种，如果你有比较好的解法，请详细阐述一下。

tangcarlos3d

# x! B5 k2 r  w0 X4 z; u
& F) p, U/ Z: Y9 W$ P用极坐标方程做顶级份要简单些，角度的积分下、上限分别是是0、PI，再将结果乘以二即可。另外也不要用任意位置的圆，用特殊位置可使计算简化。

tangcarlos3d

参考例题

wwll13

hux0730 发表于 2012-9-25 19:39 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：
3 M' `: `' X; D2 X: e2 ?
任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将 ...

/ O2 f) K. B: S) X9 }3 i我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单
符号太麻烦人了
. z! ~- _3 ^8 V" M' \  

tangcarlos3d

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

对称图形，用一半图来积分，结果再乘以二简单些。

hux0730

tangcarlos3d 发表于 2012-9-25 22:33 static/image/common/back.gif
+ q$ @4 v' I0 H' U- f+ G参考例题

兄弟，我要积分的是绕y轴圆形，而且圆的起点不在y轴上。
' E/ i  Q7 s( `) h

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

我不太理解“面积pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积”。您是把这个微元看作圆柱体来算的，这种说法不太严谨，您怎么知道刚好就是R*dθ就是微元的高，而不是1.1*R*dθ是微元的高。
: ]6 j$ r* b8 B/ S0 W( l" Q2 `% n5 ?
% R- J. [4 w6 r1 r/ H请看我10楼提出的古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。这个定理一并解决了旋转图形是椭圆，三角形等各种情况。

cnxiaomao

直接用UX UG画出来，然后在软件里面算面积快的很啊！
( D& i6 I: l( |; |图要是不复杂LZ你把图发给我吧，我直接帮你算出来就OK了、

hux0730

问题已解决，请看10楼提供的方法。

liusheng30

笨办法一个。O型圈截面是圆的，先计算以这个圆的外切正方形为截面的空心圆柱体的体积，就类似一个垫片的那种，然后乘以pi，再除以4。因为圆形截面的面积是其外切正方形面积的（pi/4）倍

LZY13981299417

用三维软件将图画出来一表就知道了

马尔马拉海

不做高数很多年了，看了有点头晕。

hux0730

马尔马拉海 发表于 2013-4-1 09:58 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
7 d! p% K, y2 {0 {, r5 M3 j# i4 S% c不做高数很多年了，看了有点头晕。

4 n# Q. M! n5 z
  @6 w* O) A- r" L! g8 a9 \
高等数学用处很大，从发布这个帖子到现在已经过去了半年，我已经成功学习了理论力学中的动力学部分，并成功解决了不少振动问题。
微积分、向量代数（线性代数）、概率论确实是工程方面的基础课程啊。望有志于工程的同志们好好研究。活学活用。