求圆环体的体积计算公式，比如O型圈

hux0730

: I3 x5 N8 d% J, [$ C: ^有例题如下所示，但我要求的是：求由圆（半径为r）绕y轴旋转一周所得环状立体的体积，设圆心距y轴的距离为R．
我用积分公式推导了半天，怎么也搞不出来。
体积应该为int(sqrt(-x^2+2*R*x-(R^2-r^2))*x,R-r,R+r)
与一般所说的2*pi*R*pi*r^2，化简为2*pi^2*R*r^2有没有差距？

4 E! J. \: v5 `5 t+ ]补充内容 (2012-10-7 20:55):
问题已解决，请看10楼提供的方法。

hux0730

7 F' o! A  w6 i+ g' P/ C9 T
) ~/ ~  x; i2 L从维基百科中查到一个 古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理，链接见：
. z) [$ Z$ C( b3 V# E- f: ~http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%88%BE%E4%B8%81%E5%AE%9A%E7%90%86
由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，等于平面形状面积http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png乘以平面形状的几何中心经过的距离http://upload.wikimedia.org/math/9/7/5/975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png的积http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18d19fad3c95ade1c4967ec502a0284.png。
( \5 Z( r  {1 }  Y6 B6 u
7 ~* m% m- @- A8 ~3 Q从英文解释中看到：
! p' @0 i3 H1 L; `4 |& t+ I

the volume of the torus with minor radius r and major radius R is

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17570773cdcdac01efba7acb0477828.png

celia

用CAD画出来，测量一下体积就行了。
或者查手册，上面就有各种形状体积计算公式

hzzpy

随便用个三维软件 绘制后可自动计算出体积的，不仅仅是规则形状体，不规则的也可以计算出
如PROE  SOLIDWORKS等都可以

TKG-09

V=2π^2 r^2 R

gaoyns

圆环体的体积也可用下式计算：
5 {: x! X8 T: g: x. w! m0 BV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
' d8 ], J# }! g; q- P" F式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直径。

l231463xg1

对我很有帮助，谢谢

hux0730

gaoyns 发表于 2012-9-22 10:42 static/image/common/back.gif
圆环体的体积也可用下式计算：
/ V1 @; C+ b) @) t3 [2 zV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
3 e( x6 L2 U4 ^& o" r: n  `式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直 ...

这个公式与4楼的公式是一样的，
5 b/ A6 P( ^7 o2 ^+ a2*pi^2/4/2= 2.4674。

我在开篇的时候也提到了这个公式，2*pi^2*R*r^2。
" _: T2 E  H8 u( h3 ~- q
诸位都是工程师啊，不习惯数学推导，习惯引经据典找到答案的依据。看来这个数学问题不好解了。

wwll13

你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-25 09:18 static/image/common/back.gif
* b; `5 B! r+ k2 F2 F+ f5 M你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

* R# @# E! }8 O8 h/ }这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：
0 C( X0 k5 c: ^" [' w6 v8 z8 \
任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入，整理得到2arcosθ＋2brsinθ＝r^2＋a^2＋b^2－R^2。
9 x* j& h2 L* L5 x& X+ y2 u" x) p不过这样的表示方法很麻烦，用极坐标表示的话极点一般不选在原点，有以下两种常用的选择：
1）极点选在圆心，这样就令a和b都为0，可将方程化简为r＝R，θ∈〔0，2π）；
2）极点选圆上一点，圆心在极轴上，则方程为r＝2Rcosθ，θ∈〔－π/2，π/2〕；
4 k  I8 r$ w, U+ K3 [3）极点选圆上一点，极轴为圆的切线，则方程为r＝2Rsinθ，θ∈〔0，π〕；
  r* e  }; e; J- g根据不同的用法选不同的极点。

基本说来，1、2、3三种情况用直角坐标系与用极坐标没有区别。而我说的圆环体积应该不是这样这三种情况中的一种，如果你有比较好的解法，请详细阐述一下。

tangcarlos3d

用极坐标方程做顶级份要简单些，角度的积分下、上限分别是是0、PI，再将结果乘以二即可。另外也不要用任意位置的圆，用特殊位置可使计算简化。

tangcarlos3d

参考例题
) Q; D$ \$ H+ X

wwll13

hux0730 发表于 2012-9-25 19:39 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：
8 G& x: f' Y$ g6 p( \/ w. x- }. j' [
  E8 S* G7 q2 i6 Y3 a$ o1 h任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将 ...

我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单
符号太麻烦人了
  K+ U9 h% C6 E. J  \: _  

tangcarlos3d

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
% T+ B$ L" X5 ~# t! n) E! n" f$ U我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

% n& e2 d$ t! p0 M$ h对称图形，用一半图来积分，结果再乘以二简单些。

hux0730

tangcarlos3d 发表于 2012-9-25 22:33 static/image/common/back.gif
2 W  a& s' ]3 z9 K/ r# U- M4 ]* w* _参考例题

兄弟，我要积分的是绕y轴圆形，而且圆的起点不在y轴上。
8 J2 K/ Y4 c& X1 a7 @% i

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
! x; R% S" W/ |! k* U/ d: I我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

0 v: U: B/ o" Y9 m: c+ J' w3 a我不太理解“面积pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积”。您是把这个微元看作圆柱体来算的，这种说法不太严谨，您怎么知道刚好就是R*dθ就是微元的高，而不是1.1*R*dθ是微元的高。
/ m& D( R$ y9 w/ U6 `- [) U/ B
请看我10楼提出的古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。这个定理一并解决了旋转图形是椭圆，三角形等各种情况。

cnxiaomao

直接用UX UG画出来，然后在软件里面算面积快的很啊！
图要是不复杂LZ你把图发给我吧，我直接帮你算出来就OK了、

hux0730

问题已解决，请看10楼提供的方法。

liusheng30

笨办法一个。O型圈截面是圆的，先计算以这个圆的外切正方形为截面的空心圆柱体的体积，就类似一个垫片的那种，然后乘以pi，再除以4。因为圆形截面的面积是其外切正方形面积的（pi/4）倍

LZY13981299417

用三维软件将图画出来一表就知道了

马尔马拉海

不做高数很多年了，看了有点头晕。

hux0730

& U. l6 m0 E" }' Y4 R

马尔马拉海 发表于 2013-4-1 09:58 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
( K2 b  [4 ?( A不做高数很多年了，看了有点头晕。

' D8 s. Y( l1 _2 u
9 a0 p+ x! ?! y/ D5 {* Q  _
5 r, \6 ^, r0 p+ q高等数学用处很大，从发布这个帖子到现在已经过去了半年，我已经成功学习了理论力学中的动力学部分，并成功解决了不少振动问题。
. t% @" K6 G$ O微积分、向量代数（线性代数）、概率论确实是工程方面的基础课程啊。望有志于工程的同志们好好研究。活学活用。