淋雨问题(本人原创解答)

duanzhixiao

下雨天，相同的路程，是走路淋的雨更多，还是跑步淋的雨更多？这便是热议的淋雨问题。

我最早看到这个“故事”居然是在《蜗居》里面，第一次碰到海藻的时候，逗海藻说的。当时就觉得这个问题还蛮有趣!后来屡屡听到有人说起这个问题，答案也是林林总总，似乎总也说不出个所以然来，于是我想了一下这个问题，发现答案似乎也不是那么难啊！个人把这一问题，归结为高中水平的物理题。
然而我有心在网上搜索了一下，居然答案也是五花八门，还有不少以此为论文，展开数学建模，答案也是貌似高深，不过我给的评价是：掩耳盗铃，故弄玄虚，简单的问题被所谓“专家”给复杂化了，甚至还有翻译外文的，实乃可笑！无怪乎！中国的某些学者通常如此。

废话少说，下面便是此问题的解答，只有一张图片。如果你认为一张图片不能解决这一问题，那么请您先认真的看完。

好了，此问题，我认为最关键的只有一点，坐标系的转换：化地球坐标系为雨滴坐标系。一切的问题都会变得简单。同时把人抽象成一个球体。先别异议，我知道有些人把人抽象成一个长宽高的长方体，对此，我只能用作茧自缚来形容，因为这样会因为一些细小的问题而让整个问题一开始就变得很复杂，当然我们很多的专家就喜欢这样做，因为这样文章就可以写得晦涩冗长了。）
球体的好处就在于，我们可以忽略迎雨面面积变化所带来的影响。当然这样也带来一些后果，我们忽略了一些东西，稍后我会解释忽略的东西的影响。

对坐标系转换的理解：这一问题，在地球坐标系中，我们常常要进行复杂的转换，这里，我不妨换一个思路，把雨看做是静止的，对，完全静止！而人对于雨就具有了一个反向的速度，这个速度在图中与V1大小相同方向相反。我们不妨这样看，把雨看成是一块黑板，人是黑板擦，当黑板擦在黑板上扫过的面积（所擦去的粉笔灰），就代表着淋雨量。在这一问题中，人是球体，雨是密度为ρ，速度为V1，那么当人走起来的时候，相对于雨，人便具有了两个方向的速度，那就是V1（反向）与V2的合速度，称之为V合。这样就简单了，淋雨量H就是 V合*ρ*t(行走的时间)，我们利用S=V2*t，将t消去。我们根据余弦定理，可以得到V合，代入整理后，我们就可以得到最后的表达式。
淋雨量H=S*ρ*根号下(1+k(k-2cosθ)) （见图）    。

好，至此，我们的表达式已经得到了，简单吧！简单得让你怀疑，不过它没错。这里把V1/V2用K代表，只是为了告诉你，在S和ρ一定的情况下，淋雨量与且仅与两个速度的比值相关。神奇吧？这个结论告诉我们，当雨下快了（仅指速度），变为2倍速度，如果我们行走的速度也变为2倍，那么淋雨量严格不变！神奇吧？也许你要质疑，我用简单实验告诉你：实验也是模型，第一个模型，是一个人在雨中奔跑，就是我们题目的原型，第个模型也独特，我们把这个人奔跑的过程录制成视频，以2倍的速度在现实中播放。比较这两个视频，我们正好发现，除了雨的速度和人的速度发生了变化（都变为2倍），其他所有的因素都没有变化。当然结果也与我们的表达式相吻合，淋雨量相同。如果你还没有理解，请回味一下。

我们还可以取几个极限值，来验证这个公式。
1，当θ=0的时候，（假设风速无穷大，把雨吹得水平了，当然现实中这是不可能的，我们是假设，注意风向是从背面吹来，所以θ是=0，如果是迎面风，θ就是180度了），假如V1=V2，也就是说，人与雨的速度大小相同，方向也相同了（因为θ夹角变为0了），我们可以想象，这种情形，人与雨完全同步运动，实际上就是相对静止，应该是不会被雨淋的。相关数据代入公式，结果为0，与我们的分析相同。
2，再分析一个极限情形，假设V1一定，V2无穷大，例如，有人说假如人以光速前进是什么情形呢？代入公式，我们发现K的极限=0，所以H=S*ρ，意思就是在路程S上所扫过的雨量。很正确吧！
3，我们再考虑一个极限情形，假如V2=0，很简单，公式的结果是无穷大。站着不动，当然是要淋无限多的雨了！别傻站了！:D

好，言归正传，淋雨量到底是什么样一个关系呢？我们还是要回到公式找结论。我们先前已经得到了一个重要的结论：在路程S、雨密度ρ，速度夹角一定的情况下，淋雨量只与V1/V2的比值有关系。
具体关系是：
当θ>90度时（即逆风），k-2cosθ恒为正，因此，淋雨量H随V2增大而减小。
当θ<90度时（即迎风），又分两种情况。
            当k>cosθ时，淋雨量H随V2增大而减小！！至到k=cosθ,即V2=V1/cosθ时，其值达到最小值为S*ρ*sinθ;
            当k<cosθ时，淋雨量H随V2增大而增大！！其极限值为S*ρ，也就是无限向上逼近于S*ρ。
我们可以使用matlab来画出波形。这里我们编写了一段小程序，来以图形化直观的显示其变化关系。程序文件见附件，运行后可填写相应参数，来查看波形。

附波形图如图。(点击查看大图) (后面有程序文件,你可以输入数据测试θ角显对于波形的影响)

明白了以上问题，我们对此问题已经有了一个非常直观的认识了，不过还没有完，这里我们还要分析一下，我们所做的球形抽象对该问题的影响。
这里我们要引入一个新的名词，我称之叫“迎面”（这里可以叫迎雨面），黑板擦在擦黑板，除了与扫过的路径有关系，还有一个量有关系，那就是黑板擦在其移动速度方向上的投影线长度，横着擦与竖着擦擦掉的面积是不一样的，这是因为“迎面”是不一样的，这里还有一个前提，我将所研究所有的运动均抽象为直线运动。迎面只与两个因素有关系，一个是运动物体的形状，一个是物体运动的方向；那么当人的速度，发生变化的时候，我们发现，人相对于雨的速度方向在发生着变化，由于人的形体的不规则，造成“迎面”在发生变化。迎面可以简单理解为，物体在其运动方向上的投影。

由于人的形体的不规则，运动与不运动也是有区别，我们很难抽象出“迎面”影响的数学模型。前面所提到的，有的人把人抽象为一个长方体，我认为意义并不太大。因为我们可以大致分析出，“迎面”对该问题的影响。我们已经知道，迎面的两个因素，这里我们只关心合速度的方向。合速度的方向只能是在V1和V2的中间，当人运动的速度发生变化的时候，我们可以看到，合速度的方向在发生着微小的变化，由于这个变化，再造成人迎雨的变化也是比较小的。
相对速度对淋雨量的影响，这一个影响是相对较小的。当然我们完全可以在此基础之上再作抽象。此处不赘述。
波形显示程序.rar (3.87 KB, 下载次数: 10)

2012-4-9 00:44 上传

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duanzhixiao

呵呵,玩笑话!  修改帖子老是提示"您的请求来路不正确，无法提交。",原来是要在这个提示页面再按F5,再点"重试"。好费劲！

kangjiankun

没成科学家，可惜了，
我现在只能算十以内的整数加减法，十以上的用计算机呵呵要不会出错

flying-cloud

文字表达太多了，图片又看不到，没心思一行一行看，

江南有雪

图片无法显示，还有外部链接，希望楼主尽快修正。

duanzhixiao

4# flying-cloud 抱歉,已修正.

tdragonfu

进来看看最终答案是否与平时认为的一致