CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

) I5 i3 }& n! l; F

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
请教大师，为什么ag是中垂线呢？

0 o3 {$ B9 M7 W) [
% K, u0 v  g& ^这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC


. N; Y7 y$ X2 |  ^

gongwen0519

' g5 M1 o; C* p* d& g: c: A
  V7 m5 a/ v; B* x; G( ~倡导纯几何作法：


+ V2 H% m( N2 v6 l一、主体部分：

7 U/ M+ f6 z) {2 P8 s3 a

, l) [1 n' b7 Z& y; A% `6 h
) u+ E- Y# n( I) V  O
7 m$ n- z5 n2 i- Y0 w/ E; Q1 g二、小篮部分：
, }$ ]6 e- u# Z( V( B% C" L. G






$ [, V- z2 S1 x7 v1 `0 F  b1 `
4 U( a! R0 |4 ^: n. B* W

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

3 f8 I- a% H; f2 q0 U! K
# L5 Y/ O$ _3 L3 u6 k# d& K7 Y
其中各次系数分别如下：

A8=4096*(a-b)^4

' Y: J" t! o  X7 f; w$ z- A8 qA7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

! I/ D$ C* n: c4 M6 J' Y4 q0 PA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
: t$ A! d3 D+ Z3 b0 K
; M4 G* r; C, m7 G0 A4 Q; [5 `% hA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
. v5 [8 [; ]# G
( c( @- h4 e  a! G5 H# z' I& AA4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
4 f; K" l+ j  P* y' y2 d
9 R( p5 [' f, ?# R* a0 RA3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)

& w0 H0 J9 J9 n) X4 lA2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
- C7 ~! M" f- l' m
A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
0 w7 R3 @. ^' q8 I3 E5 V/ ?
A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

+ C$ u( J/ }0 P8 k
% U, h. x. s% ]' B! R

1. A8=4096*(a-b)^4
   
2. 
   9 u9 k. h: u- b* \
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
     ^/ h- c$ ]* G6 c6 u# H3 I( F
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   # l; Z+ O. L: V- y. {+ \  d
6. 
   + v/ z- J- i  b. b+ q0 N; |
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   , N# Q$ k) Y% B6 m
8. 
   . l7 w  z4 q6 M8 b' o& T2 Z- q( x* [
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   
10. 
    
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

- C; f! X5 j; Y# T6 t9 H

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
+ h7 v7 h! z# F# B$ ^8 [不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

5 A/ T( G: J, J& ^朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

( G# y; N( ^6 e圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
" P2 L+ ?9 J2 }( T; G你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
0 G' h" @( w* O& M圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
* E% N5 B7 c- C3 l& g  M' K你按我说的画，面积就应该对了。

我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
9 H( K% P& d8 Q; Q/ l! L) v, I/ Y0 q我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

( y! ]) e$ S2 Q. A7 o4 k( _' [如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
' z9 W" X5 ?+ N$ ~: b2 J这与美不美无关了。

gongwen0519

+ Q, K8 X# d3 N

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：
6 }+ p  s! e9 Y% Q1 U: z, k
8 e) l. v' w- ^/ U8 Q

; I' P% r! w7 T% A( b! y6 V  [

gongwen0519

5 B3 y0 {7 ~- `5 ~1 v. C0 }
2 h; S- V" h4 y- t! L5 n图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
+ Z& ?5 a) s5 \" T+ `

) I5 f: ?0 H8 a+ x8 \
; Q. }* T3 f( S2 J2 t- m) Y1 c1 p

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
+ z" o  Q( Z, y1 I* M4 T- O四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

5 O( c- R7 e, \4 K$ A3 E这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答