CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

7 J; Z! `* U8 ~- e% v5 _

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
) x" {' g/ {- l& [请教大师，为什么ag是中垂线呢？

这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
, u1 }) @# V, D8 N

0 x. N/ d. w4 z, R) B1 A

gongwen0519

倡导纯几何作法：

5 O5 W3 w$ Y0 H2 e
一、主体部分：
# E6 w& o5 |. r


1 o! s6 q* g, {$ V0 d

二、小篮部分：






( {& Z+ F8 O- ^" c* V! r( l

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
0 D0 M( g- w1 F# p. v3 N: Z8 R倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
. ^0 h! g/ ?0 P0 f$ A' S大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

9 J; d6 n: T# Q6 x0 B7 Z一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
% D* Y$ x8 L: x. L
, n& z+ e8 V8 R" Z8 {: G
6 e$ v* q/ B* ^+ ^8 ^: \
1 x* Z' |! x( H+ O) i其中各次系数分别如下：

3 Y2 V! W6 ?0 e. hA8=4096*(a-b)^4

A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

( z/ f5 ]( }$ X1 T6 tA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
  |% I8 x! O; G2 J
! Z6 t" D  q" f6 s' R" s+ B+ JA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
6 m4 |* ?* O) R! L  T/ [3 u
A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
0 P$ s  Z- V  r' d$ v4 F
! h$ U. D/ @5 |# F" bA3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
  h; \# Y4 j7 Q; U3 D* G
/ i- \0 t# Z/ B7 Z; M! u2 }A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

. f. B" U2 L7 ], _" r2 s& Z" ~A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

1. A8=4096*(a-b)^4
     Q4 U7 H+ J* [7 Q/ ^" j- h
2. 
   1 c" e7 q; O1 ?& o# X8 U5 t2 b
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   - c0 j7 D0 }% P2 r: c. ~# P
4. 
   : e/ ~7 v2 H' e/ O
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   8 H) T; G8 _9 Z2 J: t' ~! G# M
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   , T; K$ n! U1 [6 V# l! q, n2 o
10. 
    / e4 u# A1 I; G# q& |# _% t
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    5 ?* W8 J3 ]# F7 v$ u
12. 
    3 U1 J( w" d2 Y6 y( I2 u1 X; k1 X
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    : ^7 p- x0 h) E$ r1 n( T
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

3 M$ I: V$ Y; y* A* N( c9 |4 m

* R. B5 n" K+ `9 m

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
3 h: d  P7 W# Z3 n我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

$ }+ c$ B/ z& N1 b9 {& j4 P4 N不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

$ b! L* x4 Z* v0 w7 N朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
) z" O/ ^. s1 g. C1 d朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

$ I7 H. p* v/ \' `& D! F圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
5 u2 {; b# v5 j# t* C你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
3 l: Y! q5 L; Z+ B3 S( j$ p7 O& E你按我说的画，面积就应该对了。

+ c8 T$ h$ z* E8 A1 A我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
9 h& D% e. w- T+ W我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

" w$ @3 Z# ?* ~/ R如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

! f; C9 B" _1 F) d% D

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
/ o7 A  d8 O6 H+ f) j9 H3 X这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：
# _. V9 M$ [  M



- y0 j" Z$ w3 z+ A& }5 n; {

gongwen0519

5 P; H' \/ E4 ?) P  E
5 _. h* }3 g6 {; {4 \6 [& c! e图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
7 `/ w6 a* g0 G  U; c6 x. C


- `, [/ p5 d9 w. j% |$ C/ @

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答