谁给帮忙证明下这个题目

liking

PID控制中的一个作业题，请版主手下留情先别着急删。
4 W0 v) u3 e; t8 D) g其中t是变量。答案是t=(n-1)T时，取最大值。请问如何证啊。很着急，希望指点下子。

妖精

帮你顶下，看有没有会的给你解决下！

daguang

呵呵,这需要结合高数才能证明的!

liking

我翻了翻高数的书，刚才已经证出来了。就是首先让它导数等于零，得到驻点。驻点就是(n-1)T。然后驻点左边导数小于零，右边大于零。所以有极大值。:-)

aqaq521

原帖由 liking 于 2008-1-11 07:25 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
2 @0 }& }7 ]) J1 U) n/ w4 ?PID控制中的一个作业题，请版主手下留情先别着急删。
其中t是变量。答案是t=(n-1)T时，取最大值。请问如何证啊。很着急，希望指点下子。

0 ?8 [: F5 s. x3 @2 N$ g
证明如下：
- w* M+ {! ]8 v: x
设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!]   后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!
2 `3 _5 Q$ X. `8 d
4 a' W7 s" L# j) r- h此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。
' v3 z( p7 e: _7 j" z
f(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续
, i0 ], n, a) Q$ C+ g. N3 h
2 g& K1 ?% _" w  s9 L* f$ |令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。
6 u. j4 @, K: o2 W& D+ t9 z
" ^0 [: r" M7 d' V: I, [这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。

由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T

( R% k8 v2 m% F0 h% H+ r4 Q由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负
# _( A, Y, e; Y; ^* _
' @' x- ?0 s2 V& Z# K当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加
当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少

所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。

zy5600301

这是机械题目吗 发错地方了吧

zhangzaiq

还没弄明白，还需多向高手请教啊。

liking

原帖由 aqaq521 于 2008-1-12 05:56 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
2 a' i% ], P+ n5 i/ _

证明如下：

设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!]   后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!

0 Y$ S. D9 f/ }+ f, a! @$ J5 ]  v此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。

f(t)的导数为：f'( ...

您解的更详细，谢谢了：)