本帖最后由 woaishuijia 于 2013-8-24 15:38 编辑
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解析几何推理过程及由此得出的几种画法 为讨论方便起见,以下均以矩形左侧直线中点为坐标原点; Y/ K8 L. Z$ f$ _
图1 首先,根据图1和勾股定理很容易列出下式
....................(1)0 K4 a" S( |0 _4 Y8 O+ V4 Z
式中A,B均为已知条件,只有R未知,这是一个一元二次方程.由此可知此图二维几何画法有解 整理上式可得(已去除增根)# P0 J) h7 b) s9 _ Y+ V" P
画法一:根据上式用数学方法求出R并画图(过程略) 画法二:根据上式用CAD二维画法求出R并画图(过程略) 以上两种方法均不是理想的CAD二维画法.故对式(1)做以下变化: 设上方圆的下象限点为(X,Y),如图2
# s9 ?1 n7 d4 t4 U
图2 式(1)变为
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....................(2)6 v( j2 ?) T* Q6 e7 ~4 D
为保证图形形状不变,式中X,Y存在线性比例关系:
....................(3) 当式(2)中R为已知时,可用CAD二维画法根据式(2)和式(3),求出(X,Y)点 式(2)是一个圆心为(-R,-R),半径为2R的圆;式(3)为过坐标原点和(A/2,B/2)点的直线. 在图上按假定的R分别画出圆心为(-R,0),半径为R的小圆(图3中实线圆)和圆心为(-R,-R),半径为2R的式(2)圆(图3中虚线圆),再画出式(3)直线(图3中虚线直线段).式(2)圆和式(3)直线的交点即为基于假定R的(X,Y).8 `5 i! E- P4 S6 W5 {
图3 由于X,Y,R存在线性比例关系,在CAD中用参照缩放方法,以矩形左侧直线中点为基点缩放与R有关的图形,使(X,Y)点与(A/2,B/2)点重合,新的R即为所求 具体的画法可分为几种 画法三:直接参照缩放图3中半径为R的实线小圆(见图4)
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图4 如果只想要R的答案呢,至此Game Over. 如果追求完美呢,就用复制或TTR等方法画出其它圆,完成整个作图. 注:为形象起见,图4中连同式(2)圆一起缩放了. 画法四:在图3的基础上,以(X,Y)点为下象限点,R为半径,画出上方小圆(见图5),然后两小圆一起缩放.
2 N' w4 x* i& N/ B
图5 其中,画出第二个小圆的方法就多了,比如以第一个小圆的下象限点为基点,(X,Y)为目标点复制第一个小圆;还可以两点画圆等.有一种方法值得一提:即把式(2)大虚线圆和式(3)直线向上移动R距离--实际上就是把(X,Y)点向上移动R距离,以移动后的大虚线圆和虚线直线段的交点为圆心,R为半径画出与实线小圆相切的第二个实线小圆.见图6
7 i9 F5 E8 Q$ K; R
图6 注: 为形象起见,图6中用的是复制方法. 这种画第二个小圆的方法派生出了此图的另一个画法. 画法五: 在图上按假定的R画出圆心为(-R,0),半径为R的第一个小圆(图7中左侧实线圆),再画一个与其同心的,半径为2R的大圆(图7中虚线圆),再画出式(3)直线,并将此直线向上移动R距离(图7中虚线直线段),再以大虚线圆和虚线直线段的交点为圆心,画与第一个小圆相切的第二个小圆.最后以矩形左侧直线中点为基点,以矩形左侧直线中点到第二个小圆的下象限点的距离为参照长度,以矩形左侧直线中点到矩形上方直线中点的距离为新长度,参照缩放二小圆,进而完成整个作图.
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图7 这个题还有一些变种,如矩形上方或侧方有不止一个相切圆,但万变不离其宗,读者可自行脑补. |
发表于 2013-8-19 10:05:12
楼主
发表于 2013-8-20 11:10:41
:thankfulness:
发表于 2013-8-23 06:19:23
