求证PBC为等边三角形。

xiaojunxue · 发表于 2012-10-23 20:46:16

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本帖最后由 xiaojunxue 于 2012-10-23 20:48 编辑

一道证明题，看看各位对学过的几何还记得多少。

:):)

大隐于市 · 发表于 2012-10-24 15:09:00

这个证明不难吧，稍微用三角函数关系就能算出来。

证明

具体过程如下：
作PQ垂直AD于Q，CH垂直DP于H。设正方形边长为a。
则有：DP=a/(2*cos(15°))
在Rt三角形CHD中，有DH=a*sin(15°)
而sin(30°)=2*sin(15°)*cos(15°)=1/2
所以：sin(15°)=1/（4*cos(15°))
所以：DH=a/(4*cos(15°))=DP/2
所以：三角形CDP为等腰三角形
所以：CP=CD=BC
同理可证：BP=BA=BC
所以：三角形PBC为等边三角形。

juestice · 发表于 2012-10-24 17:11:13

1、过B以AB为直径画圆
2、以AC中点为圆心，过A画圆
3、两圆交点为Q点。
4、因QBC为为正三角形。所以角BQA和BAQ都为75°。所以角QAD和角QDA都等于15°。
5、所以Q和P点重合。
6、证毕。

zyyyyp · 发表于 2012-10-25 09:04:06

1.AP=PD
2.角BAP=CDP
3.AB=CD
三角形BAP全等CDP
所以BP=CP
角BPA=角CPD=角BAP=75度
再证明角BPC=60度就可以了。
角APD=180-15-15=150度
角BPC=360-75-75-150=60.
BP=CP
BPC为等边三角形。

793879363 · 发表于 2012-10-25 11:05:05

哎，以前学的都忘了

xiaojunxue · 发表于 2012-10-27 16:48:19

3楼朋友的证法应该是最简单的。充分利用了反证法。

可以把前两面句表述为：
1、以B点为圆心，以AB为直径画圆
2、以C点为圆心，以CB为直径画圆

后面的按照3楼表述即可。

gorilla · 发表于 2012-10-27 21:27:23

本帖最后由 gorilla 于 2012-10-27 21:29 编辑

我来给个初二学生可以理解的证明：

以AD为边向外做正三角形ADQ，M、N分别为AD、BC的中点
则QP垂直平分AD，角QAP=60+15=75度，角QPA=75度(90-15)，QP=QA=AD
QM=QP-PM=MN-PM=PN
AM=BN
直角三角形AMQ全等于BNP，BP=AQ=BC
BP=CP，
三角形BCP是等边三角形

xiaojunxue · 发表于 2012-10-28 21:17:04

7楼方法与3楼的异曲同工，也挺好的。

flowerinrr · 发表于 2012-11-29 08:43:23

本帖最后由 flowerinrr 于 2012-11-29 08:57 编辑

初中的问题啊 !!!

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