CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

/ z' `. F# V0 h! s* l0 B( b( f# \

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
' @/ w5 h1 y$ k' C2 o6 l; s  e请教大师，为什么ag是中垂线呢？

0 ^& W) c1 b+ Z4 \这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC

( Y" s- \( I2 |- R; I/ |% ]
. L4 q7 L5 k/ G* V( D2 `0 F

gongwen0519

  U9 E5 e+ C7 b# r; Y
倡导纯几何作法：
( [$ g- Q  Y9 [. k+ h/ y
% ~( e, d9 w* m
一、主体部分：
- ]( h4 b' ?! Q5 X& S
9 S9 M+ o- M  _  j4 b. d
) f- T0 ]) ~# b/ j! y( N3 _/ K
8 y  o# X  G9 h% J) ^

" N: E! U3 P5 n1 M/ _# M二、小篮部分：
8 ~6 o. l6 ]+ s0 _- ?$ z$ b


' n) g3 i4 c8 c" t! |: Q
* Y+ C+ A! g  J9 W

  p4 f* ^6 K4 g- {# b0 s

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
5 ]( f4 P: ?( c5 Z0 ^1 Q& Z$ s倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

) P4 g  H' d& \' `9 s# p一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：


! C6 m' `8 j# O( _% ~
( K3 v& _0 t9 ], ?- @其中各次系数分别如下：
2 U; I5 \  `; f5 Y# v/ S
A8=4096*(a-b)^4

$ `; x# N9 `9 yA7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

8 y8 m+ A7 I5 @: j6 S  l6 @% r8 xA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2

; e8 ?4 B  I- @8 ^! Z2 ], qA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)

- E) O; `+ X, B5 t/ yA4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)

A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)

A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2
* [! G- P; B! q1 S3 Z# }0 P/ r
; K, j; ]1 M8 z* y
! W  ?  t: A1 L4 J- G3 p

1. A8=4096*(a-b)^4
   # _( k5 u' w8 i# o3 q* g
2. 
   8 F! W4 q$ M4 @
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   ' G* M. i* J3 c5 z" Z$ T6 ^
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   9 Q! D  z* S$ ~2 X9 ^2 Z
10. 
    
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    1 |: u$ P, U1 r: K
14. 
    * J5 h! `4 J' r9 a5 }
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    % p' M: D0 L& [$ ^# W6 ]
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

( u1 E+ c) k  F7 _0 b6 z

, \. a7 p/ F# z5 Q/ E  ?) G

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
: v: s7 @6 L' Z& e0 ?8 ^一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

6 @4 K$ ^6 `- d" f: q: t+ a# K7 K4 C0 H不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
  N0 L+ j( w2 X. v5 @! }1 u2 P不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

# H' S, P1 ~& g. ?8 a5 ?朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
( m+ F" C6 e& N# e另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

& U$ b8 s) T' u1 b& y! |1 I: y$ G圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
1 \" e! s( H$ ^7 s你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
$ d* }2 T5 V6 Y; Y- ]圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

  h; p% a' q( P4 T8 y. n我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
! R7 ?5 b0 @  q( u/ z我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

7 A3 @7 d  `2 S, j( |如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

; f0 ~! Q# Y  e. p

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

/ [/ C0 F- D5 P补个简要：

9 H+ U' }$ R7 |+ [5 o
+ f, N* u5 m- q

gongwen0519

图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
& G0 s. |+ X6 _/ l


2 S: b! k: H2 D9 g

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊
, U7 U4 _5 l& i9 j" w9 r

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答