CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

* y+ A4 a( o5 r* ~- d

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
) A" R. v' J; i% ^请教大师，为什么ag是中垂线呢？

( m$ ^' E2 {0 c这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
& |! [4 ]# {, V/ b" n8 Q6 s
/ j6 C# K) P1 B
2 p3 k) {6 _; q/ X5 O

gongwen0519

. U4 \$ _" }+ S
倡导纯几何作法：


9 H0 Q- f: p1 _一、主体部分：
& C# @$ L- R, b. o/ R

7 P5 E+ f0 _% x* P
" W$ V" M) O2 M; u
* |& K) h( S, ]0 i$ J3 k0 V
二、小篮部分：
/ J0 a+ ]( m& ]1 o" L  t

  i' t3 M1 D. Z
7 _8 ]8 |; c+ e4 C+ t
/ V: u) C( X1 p0 ^
  e; Y0 H/ w4 }+ r# u" B& K8 G


9 u: y; y0 L4 N' [6 B% h% n

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
倡导纯几何作法：

7 X  w( L' v1 F( |9 ^9 ^大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
/ {* L2 Q6 \. |+ y' B大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
& i0 R$ ]6 y" V8 r: W4 u


其中各次系数分别如下：
- K7 p9 M9 l- h1 e
: F  Z+ g1 `9 H- d2 DA8=4096*(a-b)^4
6 i5 b. n5 u  g$ S- b
( q8 R# P! y* d# t7 k/ Z% V$ FA7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

7 E) S3 u1 ?" @/ }# S$ w# }* PA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
: c$ `: C8 y9 H
A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
. \# ]$ ]* ?! J2 m
( Y0 [: ~2 a& Q9 D( X5 _: ]+ _A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
& h; ?1 Q, A9 `0 L+ Z8 t  I
+ `; V. X$ a0 O" KA3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)

: ~, M  \; x+ e! `; Z4 TA2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
- M0 W/ h8 y" `. e4 Z6 u/ s. Y
A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2
% T2 ^# \( E, E8 e, U! q3 E
" g" g# y3 p$ g( V; u% t1 c
. j* ?2 ?6 K1 u, ^

1. A8=4096*(a-b)^4
   
2. 
   ( _3 R- W, k$ D6 P+ i
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   ( m$ C6 Z+ ?3 a# I- P2 F4 x
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   ' c* n* Z" E6 |
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   # F9 @7 m6 t+ ?1 k. p" z
10. 
    
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    # d* v7 d4 E$ ~, c7 ]) @3 a
14. 
    ! d: }2 j: U8 W3 J
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    - P% g2 K+ Z* T; K5 b
16. 
    - [1 \+ C, a$ B& U- L
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

; l0 [2 z) `- O$ {$ m9 C  O# |

& K6 A8 Q4 h. z. y4 l

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

( s( [% h$ W2 X- E4 K2 m; w多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

' u  C& _2 y! ^  j朋友，请仔细看原题目图示中心线。
& P0 ]6 ^  d) T! z/ T2 R& l( h另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
9 E+ A* K" k6 j1 }另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
/ u- f4 S+ [3 ~9 q* O' d& A你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
( _* Y1 `: C5 y) }$ r圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

( h4 X7 Q! H. @& _& A# E我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
2 B2 z9 [$ v) A& @( X我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

% i! `1 ^/ D! p4 w( r

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
) [: N  a1 x' H! O0 b  f, x1 F这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：
, p1 h) i8 L% f1 ^  z! I1 C

  z% z3 x9 u3 a; D" v6 n% q! O. A2 H
  u( R9 d6 h$ X1 ]. D; ~) M

gongwen0519

* B5 W. A3 W* N$ d/ k
图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。



8 H9 Z) t4 y( }: C2 q# [* y

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答