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[已解决] 求圆环体的体积计算公式,比如O型圈

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发表于 2012-9-20 21:42:14 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国北京

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x
本帖最后由 hux0730 于 2012-9-20 21:50 编辑 7 _5 ^% l* ?: s. `* [; ?2 P2 Q

& f# x% q3 p0 B+ M9 ?  D有例题如下所示,但我要求的是:求由圆(半径为r)y轴旋转一周所得环状立体的体积,设圆心距y轴的距离为R.
, t; ^- i) X7 r* K% C我用积分公式推导了半天,怎么也搞不出来。
  W1 U; Z2 y% N' l体积应该为int(sqrt(-x^2+2*R*x-(R^2-r^2))*x,R-r,R+r)
1 ^6 j" l. p$ i& Y' \! w9 B
与一般所说的2*pi*R*pi*r^2,化简为2*pi^2*R*r^2有没有差距?; w" }" C' J3 ~7 a' D
2.Jpg

4 v; A  S  R# [8 J4 w& @- N3 \, z  V# `) S: l3 T; R
补充内容 (2012-10-7 20:55):
+ h# H: `6 e( J$ f+ i问题已解决,请看10楼提供的方法。
 楼主| 发表于 2012-9-25 20:11:12 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
本帖最后由 hux0730 于 2012-9-25 20:13 编辑 ' f3 R) j( r! i' P: w, \" z

# V/ D, N9 o: c9 J4 O5 k$ h: C# c+ e从维基百科中查到一个 古尔丁定理,又称帕普斯几何中心定理,链接见:7 r1 b# M+ e4 S; e, a
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%88%BE%E4%B8%81%E5%AE%9A%E7%90%86
7 l, P8 O1 c3 b# z, {) D' R3 H由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png,等于平面形状面积http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png乘以平面形状的几何中心经过的距离http://upload.wikimedia.org/math/9/7/5/975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png的积http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18d19fad3c95ade1c4967ec502a0284.png+ _3 m) Y4 D- t3 j

% V: I3 i; N1 y! v( V7 C6 Q从英文解释中看到:
* ^. Y7 @* j. O# C' |
the volume of the torus with minor radius r and major radius R is
http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17570773cdcdac01efba7acb0477828.png
发表于 2012-9-21 11:25:16 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
用CAD画出来,测量一下体积就行了。
  g9 }2 u( S: g0 H; c/ Q1 {或者查手册,上面就有各种形状体积计算公式

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发表于 2012-9-22 07:22:03 | 显示全部楼层 来自: 中国浙江绍兴
随便用个三维软件 绘制后可自动计算出体积的,不仅仅是规则形状体,不规则的也可以计算出* ?. l4 x5 ^' e- f5 J0 @2 w; t0 o
如PROE  SOLIDWORKS等都可以

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发表于 2012-9-22 09:13:59 | 显示全部楼层 来自: 中国湖南岳阳
V=2π^2 r^2 R
1.jpg

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发表于 2012-9-22 10:42:01 | 显示全部楼层 来自: 中国山西太原
圆环体的体积也可用下式计算:
4 X- }  o6 |( K8 VV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D9 a* V2 W( K* w+ }3 D" X
式中:d为圆环截面直径;D为圆环中心圆直径。

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发表于 2012-9-23 12:39:22 | 显示全部楼层 来自: 中国广东深圳
对我很有帮助,谢谢
 楼主| 发表于 2012-9-23 22:29:43 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
gaoyns 发表于 2012-9-22 10:42 static/image/common/back.gif" s8 W) ~' B" C* h* J
圆环体的体积也可用下式计算:
7 w" x* H2 o& B% }1 S1 s) ZV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D$ N* p; L% j6 B7 g8 }, k: e
式中:d为圆环截面直径;D为圆环中心圆直 ...
8 ?4 ~* w7 T7 @2 v8 c( m. U
这个公式与4楼的公式是一样的,+ D' r4 v$ B- v' x
2*pi^2/4/2= 2.4674。/ ]  Q& h4 h' q  l

$ X% _) @" H  t; A' E3 d我在开篇的时候也提到了这个公式,2*pi^2*R*r^2。/ M, S6 t- P6 U4 Y( J

4 y$ ], G' Q) U2 l诸位都是工程师啊,不习惯数学推导,习惯引经据典找到答案的依据。看来这个数学问题不好解了。
发表于 2012-9-25 09:18:34 | 显示全部楼层 来自: 中国河南郑州
你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

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 楼主| 发表于 2012-9-25 19:39:20 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
wwll13 发表于 2012-9-25 09:18 static/image/common/back.gif# y% P& T: C1 v4 R+ p' A  I
你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,
+ p  ^3 I4 U8 f: g
这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下,如下:
, n9 k5 k. u5 c, J) ]2 p7 h
! B3 \8 E* u9 e5 g- w任意圆的直角坐标为:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,将x=rcosθ,y=rsinθ代入,整理得到2arcosθ+2brsinθ=r^2+a^2+b^2-R^2。 0 c. M0 S* o: `  w( a
不过这样的表示方法很麻烦,用极坐标表示的话极点一般不选在原点,有以下两种常用的选择:
& c8 H6 l! u8 }* r/ }* ?: k6 C$ |1)极点选在圆心,这样就令a和b都为0,可将方程化简为r=R,θ∈〔0,2π); & l' f7 a; u5 n, c% L5 `/ r* |  [
2)极点选圆上一点,圆心在极轴上,则方程为r=2Rcosθ,θ∈〔-π/2,π/2〕;
& C$ c) e' e, J4 f& B1 ?3)极点选圆上一点,极轴为圆的切线,则方程为r=2Rsinθ,θ∈〔0,π〕;4 n. ?3 V; n/ q6 I& K% |2 r
根据不同的用法选不同的极点。
: L) i4 ?0 ^- e) N9 _$ ~/ ?& l+ L
" k; k# U: @! i9 t/ n' ~, K基本说来,1、2、3三种情况用直角坐标系与用极坐标没有区别。而我说的圆环体积应该不是这样这三种情况中的一种,如果你有比较好的解法,请详细阐述一下。
发表于 2012-9-25 22:00:44 | 显示全部楼层 来自: 中国广东东莞
本帖最后由 tangcarlos3d 于 2012-9-26 11:21 编辑
: V1 R: @8 Y+ t) y/ [
& f9 g2 u) f0 Q' u8 m9 b用极坐标方程做顶级份要简单些,角度的积分下、上限分别是是0、PI,再将结果乘以二即可。另外也不要用任意位置的圆,用特殊位置可使计算简化。

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发表于 2012-9-25 22:33:49 | 显示全部楼层 来自: 中国广东东莞
参考例题5 L/ f5 x+ x: j- }8 u( P
1.jpg

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发表于 2012-9-26 10:52:55 | 显示全部楼层 来自: 中国河南郑州
本帖最后由 wwll13 于 2012-9-26 10:56 编辑
5 U. u2 T2 g3 u+ [5 P
hux0730 发表于 2012-9-25 19:39 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
5 L/ c$ d  g$ d这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下,如下:0 J' t) h4 e! P' }  X

7 L" B' l- r! ~. h- Q& \任意圆的直角坐标为:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,将 ...
7 d) Q& `* n! V6 _2 k. Y

! O% H6 P5 m$ n% L: Z- P$ D+ G我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单
! Q3 M3 A+ b+ u" t( J, v; P) q符号太麻烦人了& I% i+ t% }/ k, k& v$ w
   QQ截图未命名.jpg

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发表于 2012-9-26 11:17:21 | 显示全部楼层 来自: 中国广东汕头

RE: 求圆环体的体积计算公式,比如O型圈

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif7 \5 u( C) _* s, A; J2 i1 @5 _
我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...
/ i. }. f5 I) ~
对称图形,用一半图来积分,结果再乘以二简单些。

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 楼主| 发表于 2012-10-6 13:58:07 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
tangcarlos3d 发表于 2012-9-25 22:33 static/image/common/back.gif
8 `0 e5 E  A% N  |/ U) P参考例题

1 [/ g! p4 L3 B) R) n, J" Y; ^兄弟,我要积分的是绕y轴圆形,而且圆的起点不在y轴上。, f7 z, \% E0 x* ^: a% I
 楼主| 发表于 2012-10-6 14:12:36 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif3 y! e8 P4 ^6 N( R1 l- ~7 P
我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

- m* K. k# l/ K& k" ~) l我不太理解“面积pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积”。您是把这个微元看作圆柱体来算的,这种说法不太严谨,您怎么知道刚好就是R*dθ就是微元的高,而不是1.1*R*dθ是微元的高。. O# z/ y7 i' s; m  Q, J+ D# |
( P  m# u+ r6 K, [8 ]  |5 l
请看我10楼提出的古尔丁定理,又称帕普斯几何中心定理。这个定理一并解决了旋转图形是椭圆,三角形等各种情况。
发表于 2012-10-7 14:30:48 | 显示全部楼层 来自: 中国四川成都
直接用UX UG画出来,然后在软件里面算面积快的很啊!7 C% k6 c) e4 n& I" c
图要是不复杂LZ你把图发给我吧,我直接帮你算出来就OK了、

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 楼主| 发表于 2012-10-7 20:55:28 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
问题已解决,请看10楼提供的方法。

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发表于 2013-3-27 10:35:42 | 显示全部楼层 来自: 中国江苏苏州
笨办法一个。O型圈截面是圆的,先计算以这个圆的外切正方形为截面的空心圆柱体的体积,就类似一个垫片的那种,然后乘以pi,再除以4。因为圆形截面的面积是其外切正方形面积的(pi/4)倍

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发表于 2013-4-1 08:39:15 | 显示全部楼层 来自: 中国四川广元
用三维软件将图画出来一表就知道了

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发表于 2013-4-1 09:58:25 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
不做高数很多年了,看了有点头晕。

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洪哥 + 2 请马老注意休息:)

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 楼主| 发表于 2013-4-1 21:17:14 | 显示全部楼层 来自: 中国北京
本帖最后由 洪哥 于 2013-4-2 10:14 编辑 . c5 H& i" ?( _
马尔马拉海 发表于 2013-4-1 09:58 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif$ M. z- T3 _6 Z3 v. \# x
不做高数很多年了,看了有点头晕。

% E8 k3 v! _  U7 U; Y7 t
& b/ k5 m0 E5 j. f. U4 T! E) ]. B& E7 j6 \& t1 F3 B; m" V
高等数学用处很大,从发布这个帖子到现在已经过去了半年,我已经成功学习了理论力学中的动力学部分,并成功解决了不少振动问题。
5 ?- D- r- p6 b8 L微积分、向量代数(线性代数)、概率论确实是工程方面的基础课程啊。望有志于工程的同志们好好研究。活学活用。

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洪哥 + 10 感谢总结!

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