求助一道几何题。（求时间最短）

hux0730 · 发表于 2012-2-11 22:28:14

如图所示，AB为公路，其余地方为平原
在公路上行进的速度为2v，在平原上行进的速度为v
角BAC为30°，
求：
在哪点D处拐弯，能用最短的时间到达C点。

很简单可以看到，θ角是与长度无关的一个常数。所以，求出θ角即可。

最好使用几何的方法解决，据说是可以的。

用解析几何也可以。欢迎给出解题过程。

补充内容 (2012-9-16 22:26):
这位兄弟的答案最接近我的原始思路，最佳答案给予他吧。
但我有一般的解法，请看23楼我提供的数形结合的方法。

补充内容 (2012-9-16 22:29):
版主也不给我加点分鼓励鼓励

haojie1983 · 发表于 2012-2-11 22:28:15

直接上图：请参考。

hux0730 · 发表于 2012-2-11 22:29:24

如有可能，可以给出更一般的情况。

victory929 · 发表于 2012-2-13 09:45:28

我的思路：
角ABC以90°为界分为三种情况，不小于90°时不走公里最短。
在小于90°时，可设AB、BC长度为已知，以角θ为变量建立公式求最值。

梦里是谁 · 发表于 2012-2-13 10:12:11

看到楼主的签名，就无语了

zhy_chang · 发表于 2012-2-13 11:24:07

θ=60°时时间最短

zhy_chang · 发表于 2012-2-13 11:40:16

若公路上行驶速度为V1，平原上行驶速度为V2，cosθ=V1/V2时时间最短，与角BAC的大小无关

zhy_chang · 发表于 2012-2-13 11:41:19

若公路上行驶速度为V1，平原上行驶速度为V2，cosθ=V2/V1时时间最短，与角BAC的大小无关

zhy_chang · 发表于 2012-2-13 16:24:27

设AC=L,角BAC=α，公路速度为V1，平原速度为V2。
则BC= Lsinα，DB=Lsinα/tanθ，AB= Lcosα，AD= Lcosα- Lsinα/tanθ，DC= Lsinα/sinθ
到达目标所需时间为：
t=AD/V1+DC/V2
=( Lcosα- Lsinα /tanθ)/V1+( Lsinα/sinθ)/V2
=Lcosα/V1-Lsinα(1/( V1tanθ)-1/( V2sinθ))
= Lcosα/V1-Lsinα(ctanθ/( V1)- cscθ/( V2))
对t求导有：
t`= Lsinα（csc(^2)θ/( V1)- cscθctanθ/( V2))
=（Lsinα/ sin(^2)θ）（1/V1-cosθ/V2）
令t`=0，则有1/V1-cosθ/V2=0
即cosθ=V2/V1时，运行时间取得极小值。
其中0<α<90，α<θ<90
由上可知，拐点D与α无关，仅与速度V2 和V1的比值有关。

zhy_chang · 发表于 2012-2-13 16:38:39

上题中V1=2V2，cosθ=1/2,即θ=60°时时间最短

hux0730 · 发表于 2012-2-14 22:00:40

对于一般情况，速度是n倍的情况：θ=arccos(1/n)。

这道题可以使用使用几何的方法，做图完成一下。请继续讨论一下哦

hux0730 · 发表于 2012-2-15 20:10:01

没有人继续挑战一下啦？？

philipszzz999 · 发表于 2012-6-22 08:46:33

90度啊必须的

philipszzz999 · 发表于 2012-6-22 08:52:56

角度一定大于90度这是能肯定的主要考虑的还是b点的位置

philipszzz999 · 发表于 2012-6-22 09:28:48

我自己晕了好像分界点在3:4:5上那个高手上下反正角度肯定≥90度的啦超过143度就不知道了

cnxiaomao · 发表于 2012-6-22 09:43:59

这道题，还要做？答案很明显的嘛

最值假设：答案肯定是θ角=90度设BD=x DC=Y 总时间T=t1+t2 t1=x/2v t2=y/v
所以T=x/2v + y/v

当CD垂直于AB的时候，DC最短，此时在DC上行驶的速度为v，即路程越短，到达时间越短。

philipszzz999 · 发表于 2012-6-22 10:31:05

好像题目没有起点啊 O(∩_∩)O哈！

hux0730 · 发表于 2012-6-22 14:08:48

设AC=L,角BAC=α，公路速度为V1，平原速度为V2。
则BC= Lsinα，DB=Lsinα/tanθ，AB= Lcosα，AD= Lcosα- Lsinα/tanθ，DC= Lsinα/sinθ
到达目标所需时间为：
t=AD/V1+DC/V2
=( Lcosα- Lsinα /tanθ)/V1+ ...
zhy_chang 发表于 2012-2-13 16:24 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif

这位兄弟是代数解法，答案是正确的。带入数值之后，arccos（1/2）=60°为正确答案。
但确实有几何解法，我后来想明白了，是用光程最短原理。

hux0730 · 发表于 2012-6-22 14:13:49

直接上图：请参考。
haojie1983 发表于 2012-6-22 09:57 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif

兄弟的解法确实简洁，答案也正确。本来准备设为最佳答案的，但是我觉得没有推广到一般情况，所以先缓一缓啦。反正都是一乐，您也别介意。

我所说的一般情况是：如果这个夹角是20°，或者其他，怎么用图解法说明呢？？

haojie1983 · 发表于 2012-6-22 14:34:31

19# hux0730

呵呵，不介意的，其实不考虑角度，就不用做对称，直接做AF与AB成30度角就可以了啊。
至于尺规作图怎么做30度角，就比较简单了吧。

haojie1983 · 发表于 2012-6-22 14:35:52

所以最终角度是60要是定值的

hux0730 · 发表于 2012-9-10 17:54:35

haojie1983 发表于 2012-6-22 09:57 static/image/common/back.gif
直接上图：请参考。

请看我的解答。可根据此图的方法推导出更一般的情况。

hux0730 · 发表于 2012-9-10 18:33:51

hux0730 发表于 2012-9-10 17:54 static/image/common/back.gif
请看我的解答。可根据此图的方法推导出更一般的情况。

一般解法如下图所示：

hux0730 · 发表于 2012-9-10 18:40:10

赶紧把这个解法写出来吧，要不我怕之后我也忘了。
这道题目是3月份的时候，办公室的一位哥们出给我们做的。好像是初中题目，我们都觉得不可思议，不可能要用什么求导之类的方法啊。所以回去后苦思冥想，在半夜12点的时候得到了本题60°的答案。
随后，推而广之到达一般解法。
充分运用初中几何的数形合一。

kaiyincai · 发表于 2012-9-10 22:27:36

高手云集啊

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