CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

& q# S4 {( T6 T2 E" i# s" K

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
2 \; n! Z5 ^, p! g  q+ o请教大师，为什么ag是中垂线呢？

这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
! j; S3 F  }; p2 v5 \
9 {) l+ v) r3 E2 m3 Y' n( Q# @4 I
# {+ a# z0 u: G7 O$ p* a

gongwen0519

- g8 u: Y7 }, A3 |倡导纯几何作法：


2 v, G( p+ ]6 [& \  V9 z& V2 K一、主体部分：
3 m  t- O0 I* U' `
  d9 ]3 {: u2 p) s' G/ y



二、小篮部分：
0 ]! K0 _$ j. x! |, B: E1 A
6 r9 ^7 m, Q- L/ i7 O0 |

) l& J, K  b& u& H" t& e
& V$ |# H3 O' ^

" |  ~1 D( V/ a3 f7 F4 }1 C

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
% {5 `( R5 c# ^5 ]倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

$ P4 n+ `: A, n2 s, s一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
2 K6 K, h0 G# h6 _, f

: b2 I3 ]! W+ U- m; H9 B. V8 ]1 G
1 z7 _- C# @; j! j3 e4 R其中各次系数分别如下：
3 n. `& W( P; M+ l. e( T
  V. m! A+ L1 W, rA8=4096*(a-b)^4

A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
! @. X* F" w: _4 Q; [2 |
/ r, V1 d. ^7 tA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)

2 i& R9 m4 _1 H! dA4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)

0 K8 G1 |  M+ e0 \* ?A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
) z# \- `3 c* d/ b# _: P- U
A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

9 m6 P6 S6 x( g5 @! [/ l0 T: F6 FA0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2
) B2 d* m. ]$ N: X( Q9 z8 D
3 v- b$ ~" z! r

1. A8=4096*(a-b)^4
     _7 i& Q3 P$ H& L
2. 
   * `( V5 z- |7 s  W5 Y7 I6 o! r
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   $ w& I( \3 n! f* H# ]
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   
10. 
    + j* H8 o) m4 P. }( J9 ]9 i
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    0 O" j# b, I; F
16. 
    , V/ G) [" G$ M
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

5 t4 V' r  I, T# _

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
* U1 ]% V0 F: s; R6 h一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
) \$ z- X9 y0 I! c* @, n8 N我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

- `2 R% ?% M  L3 K不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
. |1 _6 c; P! A7 g& d7 p不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

朋友，请仔细看原题目图示中心线。
- s1 T( G; T+ o  }另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
- t" j  p  g, `+ d另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
4 @% |3 j' Q1 V4 p9 T, [+ W你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
" p0 L* v8 T0 |你按我说的画，面积就应该对了。

我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

) O& V" b3 b' t8 |0 L, j3 g' w4 F如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

; M1 {1 V0 l) ]; o补个简要：


$ F5 V0 Y  d; y  A7 x0 u+ Z
. t& c9 w, w  t

gongwen0519

" ?" i% ^& E" u) c/ S4 C" i. T. C: M- R
图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
: N" x' v2 @1 O7 A6 J' U

% p9 W, R% K1 j, K7 Q5 x* \3 Y
4 S4 ^5 Z4 Y. s, u: h$ v

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

# I7 ~# D8 z: `& o7 s9 a. X这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊
( A" f. d8 \" u9 K: }6 V

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答