CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
请教大师，为什么ag是中垂线呢？

2 H7 H/ D" X* p- T( f: U这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC


2 Z  n  p9 B+ J! I7 w* M

gongwen0519

倡导纯几何作法：


4 e2 G8 E2 d9 k4 g) G一、主体部分：
* h% d: {, B. ?6 Q* l, z
8 Q3 S* v  _9 y  O



二、小篮部分：
) ]. V  O$ I; Y
6 ?# E- i# p3 n; d- c( @  l* D


4 ]3 z- f: `: @/ h, M: ]
) S' k. i$ v8 r


$ N4 U, i, @% U5 t5 l, E+ B% W

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
倡导纯几何作法：

. H3 L5 m" g# w* b, o+ O: p9 o大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
: L) M1 ^0 [3 ]. K( v; n大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

" a$ D( Z1 @. K7 _! V, b一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
# l, Q; v5 T% Z- K1 T6 J


* z! D* W: l& W( j其中各次系数分别如下：
) W8 |6 [0 C- w3 W
, c# b; P" b0 s, @* `) Q; cA8=4096*(a-b)^4
. h1 \+ ?0 b) ~0 J& E: Q+ j/ v
A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
/ `, M( g2 O" P, t' {1 A
" }. v. ?7 R3 I8 w' G+ ^A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
! E! y* x* l2 o2 \/ _
( D4 D+ j% s$ ~1 t) t; W  @  c# yA5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)

: d5 s. y0 J/ M% X+ X* @A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
' ]4 G7 A3 W2 X3 i
A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)

- b3 h8 R1 r- i  P7 V& |* oA2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
5 j0 ~- r- f, a6 [* p. J# o
9 @2 L1 N2 o5 u* i6 ?A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)

3 O3 ~+ G0 g* R0 AA0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2
. I" q5 {  j) k1 D3 Q* {9 D
  H, P( d- u& X6 }6 B" F

1. A8=4096*(a-b)^4
   4 E2 @1 w, p. m
2. 
   
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   $ B8 P1 X7 [  V) G3 I4 U) r/ x5 ~
4. 
   6 d4 W6 P; w! }1 M8 R% d/ _
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
     J+ r4 Z  V5 r' v( O# M. ?7 h
6. 
   6 H& s; [( Z3 B. D# X
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   
10. 
    % |% n5 C) C: j+ `  M
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    9 [8 x7 b0 d, M
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    . {8 Q$ f  x3 A
16. 
    ; G  u1 q" ?. K  @/ U" A
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

9 t# W3 n& w9 {6 S! v5 K6 B6 o

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

# N8 G8 t  h1 z) k多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
' X" R) q, o! a$ t' I我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

8 L8 Y" B( {% f# A! T! _, j3 o, J不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

. `) m# e2 D2 ]$ H6 n朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
朋友，请仔细看原题目图示中心线。
5 g  H5 j& i3 e1 R3 S8 H另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

. X2 n" a" ^3 l! ]$ g2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
2不和a相切，不会过定义，

圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
& N. p+ p' K$ g( k你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
; D( N( G9 T0 X1 l你按我说的画，面积就应该对了。

我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

' f$ `* v1 i8 c) f- L# i3 J

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

0 @" D4 z& s- e2 G( [4 }补个简要：

- {* m6 r0 C! `- B+ y% B+ \
' W$ a' Y. w0 E- V
" z& o0 }+ y, e) b3 F0 i) z2 O
- e) f# H8 y; [- R9 x

gongwen0519

图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。

9 c2 G7 G' ^; U- M$ L9 X
6 G1 ?* c& _' M- P6 N
; z1 ?- I3 T) a$ G

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
' Q: @3 _+ n0 Q6 v6 X/ [( _四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

- S( }6 y5 R9 C8 n0 ~这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊
9 F$ R, O! d3 ]1 M! B; }  o/ m

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答