CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
( ]/ E! f% u, c6 b; m; E请教大师，为什么ag是中垂线呢？

9 i; \* O8 R! T  a5 {; N这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC

gongwen0519

* m) I2 Z1 q$ \0 N倡导纯几何作法：

* q" @% I+ r& G- L
一、主体部分：
  f0 ^3 a4 C" {4 d

3 i+ B, l% ]  x+ k: z5 _6 b" x2 z" W
+ K9 ^8 s7 O  e  o

% S6 h5 |1 f- v+ y- i% N二、小篮部分：

, _; }' h8 i. U, w. U
. P( }0 r& R) n# [  y0 x! P; E





1 {- i  {1 @8 a- t0 }% x9 r

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
7 ?3 H, n7 \5 p* @: r3 S1 `大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
" m+ v1 Y4 H4 M* G

  t0 |& {' \- J( [% Y
+ |, y5 b: k" v2 x" }2 d其中各次系数分别如下：
# U" P4 r" o. l$ h$ y
3 P- T: K' H7 Q$ I, zA8=4096*(a-b)^4

( F, c4 e* |6 V  n0 H4 [A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
7 Q" H. K. c9 S. o! a5 u6 {* Y
A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
& K& q; N) ^( t' i/ h9 ?5 \
$ B- Q7 |1 S- J* u% O6 RA4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)

' |( t# R; S% ]! J$ \A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
5 u' }: W( b: Z3 A
A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
( x3 B' ?0 s! V7 X3 d$ y  o$ y0 |
A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
# L9 P' }3 R) r  D) c, N
A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

1. A8=4096*(a-b)^4
   ( R1 a1 o, B5 _. K9 F
2. 
   
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   / W1 z2 w1 ?( {# a
6. 
   
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   4 b4 t" R2 c1 L+ V% b7 b& D% Z- m
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   . T0 `  J/ F6 o
10. 
    
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    - f+ L7 F9 {0 T( {& _% X; r
12. 
    
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    ! M: g& n" `/ Z! P6 m
14. 
    
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    - S/ Y/ J/ G. S) m" J
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

9 h# y) }* F' F: f
- G! g4 N7 T& q: j- z

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
( M  \* i0 k% ^0 X- ]一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

, Q. K# g! _2 O5 y6 {多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

% W5 x7 t% {/ P- ?. `! G3 t9 B不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
& G) u7 ]8 e0 E" F/ t$ {$ ?: ]* Z朋友，请仔细看原题目图示中心线。
6 h, u% D. r: f/ y! i  S" ~# z另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
9 C: I  W  Z9 [0 [9 i1 ~" M2不和a相切，不会过定义，

. p+ y/ F: n: |0 h$ u8 T圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
$ {) o* g% d, a% m, D你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
3 y) w8 v* p- \7 K$ s. |圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
8 K  i& V* ^3 h: Q5 p# P你按我说的画，面积就应该对了。

我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
# W3 C$ N; f- _. t, b5 @我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

1 y9 x2 ~" B  l如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

! i5 J, M  X1 v2 Z  p8 l- s0 B

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

补个简要：

5 H( m$ A8 E! @' q3 O- C/ s
7 f4 X5 O3 f% g, S( l+ B
, L$ x! d3 s/ o' D% k& m4 i
. u! B- `5 A0 v9 u

gongwen0519

  t( T0 M$ [/ o5 b1 e4 d! T% @5 I0 p
- H& W! h1 O. K' ~: Y2 ?* X图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。



$ z$ C8 l' H; K$ J$ D

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
4 w' L5 D- Z3 B( O* B* {# o9 n四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

. E8 ]  Y" Q6 I. X1 \这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊
; ]- C7 ~* S0 F3 b( J

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答