曲面的特殊参数

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§6　 曲面的特殊参数§5定理1的一般性结论，本节具体讨论两种特殊参数网．一．曲率线和曲率线网鉴于主曲率和主方向在曲面弯曲程度刻画中的重要地位，利用主方向向量场构造相应的参数网将是有意义的．定义1　若曲面 S 上的曲线 C 的切向总是 S 的主方向 ，则称曲线 C 为曲面 S 的一条曲率线．注记1　①　曲率线就是曲面上的主方向场的积分曲线． ②　对于全脐曲面而言，其上任意一条曲线都是曲率线；因而对于平面和球面而言，曲率线没有特别意义．而在曲面的非脐点处，有且仅有正交的主方向，因而对应有两条正交的曲率线．对于曲面 S: r(u1, u2) 上的曲线 C: ui  ui(s) , i  1, 2 ，其单位切向 T(s)  ri dui ds 成为主方向的充要条件为沿 C 成立 W(T)  T ，由 (5.3) 式化为 (6.1)　　 ( du2 ds)2  du1 ds du2 ds ( du1 ds)2 g11 g12 g2211 12 22  0 ．因而，曲率线微分方程由 (5.3) 式或由 (6.1) 式给定，也经常写为 (6.2)　　 (du2)2 du1du2 (du1)2E F GL M N  0 ．例1　对于正则的旋转面 S: r(u, v)  ( f(v) cos u , f(v) sin u , h(v)) ，证明其经线和纬线都是曲率线．证明：易知旋转面 S 的相应基本形式系数分别为　　　　E  f 2 , F  0 , G  (f &#616022  (h)2 , 　　　　L  f h(f )2  (h)2 , M  0 , N  f h  f h(f )2  (h)2 , 故 S 的曲率线方程为　　　　 dv2  du dv du2 f 2 0 (f )2  (h)2 f h(f )2  (h)2 0 f h  f h(f )2  (h)2  0 ．对 S 的经线 v 线，u  const. 即 du  0 ，显然适合该方程；同理，对 S 的纬线 u 线，v  const. 即 dv  0 ，同样适合该方程．故 S 的经、纬线都是曲率线．　　□ 从上例可见，旋转面上的经纬参数网是正交网并且坐标曲线都是曲率线．在曲面上，由处处正交的曲率线所构成的参数网通常称为正交曲率线网；而对于无脐点的曲面，若存在曲率线所构成的参数网，则该网处处正交，此时正交曲率线网也简称为曲率线网．关于曲率线网的性质有下列结果，列为定理．定理1　已知正则曲面 S: r(u, v) ．　　①　若 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化，即 F  M  0 ，则其两族坐标曲线都是曲率线，即 (u, v) 参数网为正交曲率线网；　　②　若 S 无脐点，并且 (u, v) 坐标曲线都是曲率线，则 F  M  0 ；　　③　若 S 无脐点，则局部存在参数使坐标曲线网构成曲率线网．证明　①　由曲率线微分方程，结论是显然的． ②　由曲率线的定义知 ru 和 rv 都是主方向向量，并且由曲面正则性知道 ru 和 rv 是处处线性无关的．故由主方向的正交性知道 F  0 ．再由曲率线微分方程 (6.2) 式，将 du:dv  1:0 和 du:dv  0:1 分别代入，得　　　　 0 0 1E 0 GL M N  0  1 0 0E 0 GL M N ．此即 EM  0  GM ，从而由第一基本形式的正定性得知 M  0 ． ③　此时两族单位正交主方向向量场在 S 上处处线性无关并且连续可微．故由第三章§5定理1即知，局部存在参数使两族坐标曲线分别为单位正交主方向向量场的两族积分曲线，此即构成曲率线网．　　□ 推论1　已知正则曲面 S: r(u, v) 无脐点．则 (u, v) 坐标曲线网构成曲率线网的充要条件为 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．注记2　①　在无脐点 S 的曲率线网之下，Weingarten矩阵简化为　　　　   g1  L 00 N 1 E 0 0 1 G  L E 0 0 N G ；此时主曲率分别简化为 1  L E , 2  N G ，相应的单位主方向分别简化为　　　　1  r1 E , 2  r2 G ．　　②　在曲面的孤立脐点附近，曲率线网的存在性和正交性在脐点处并不能保证．　　③　对于全脐曲面，局部总存在正交曲率线网．此时正交曲率线网同样使第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．理由可参见定理的证明过程．曲率线的特征也可以用曲面单位法向的行为或法线的行为来刻画．定理2（Rodriques公式）　已知正则曲面 S: r(u1, u2) 的弧长参数化曲线 C: r(u1(s), u2(s)) ．C 是曲率线的充要条件为：沿 C 存在函数 (s) ，使　　　　dn ds   (s) dr ds ，即沿 C 成立 dn   (s) dr ．证明　由曲率线定义和Weingarten公式，下列条件等价是显然的：　　　　C 是曲率线沿 C 存在函数 (s) 使 W(T)  (s) T 　　沿 C 存在函数 (s) 使 dn   (s) dr ．　　□ 推论2　正则曲面 S 上的曲线 C 是曲率线的充要条件为： S 的法线沿 C 所织成的直纹面可展．证明　对于正则曲面 S: r(u1, u2) 上的弧长参数化曲线 C: a(s)  r(u1(s), u2(s)) ，记 l(s)  n(u1(s), u2(s)) ，S 的法线沿 C 所织成的直纹面即为　　　　S*: r*(s, t)  a(s)  t l(s) ．由直纹面可展的解析条件，S* 可展的解析条件化为　　　　0  (a(s), l(s), l(s))  dr ds , n, dn ds ．现若曲线 C 是曲率线，则由上式和Rodriques公式即知 S* 可展．反之，若 S* 可展，则由解析条件即知 S 的两个切向量 dr ds 和 dn ds 平行，从而沿 C 存在函数 (s) 使 dn   (s) dr ．再由Rodriques公式即知曲线 C 是曲面 S 上的曲率线．　　□ 利用上面这个结论观察旋转面的经纬线，可直观看到例1的结果．在§8之中，曲率线网将用来讨论可展曲面的曲率特征．二．渐近曲线和渐近曲线网上面已经看到，作为法曲率关于方向的最值，主曲率是曲面上的重要几何量．接下来将简单介绍一下对应于法曲率零值的切方向场及其积分曲线．定义2　若曲面 S 上在点 P 处沿切向 aTP 的法曲率取零值，则称切向 aTP 为 S 在点 P 处的一个渐近方向；若曲面 S 上的曲线 C 的切向量总是 S 上的渐近方向，则称 C 为 S 的一条渐近曲线．注记3　①　从Euler公式易见，存在渐近方向的充要条件是曲面的Gauss曲率非正． ②　渐近方向 aTP 是 TP 上的Weingarten变换的自共轭方向，即　　　　W(a)•a  0 ． ③　曲面上的直线一定是曲面上的渐近曲线．曲面 S: r(u1, u2) 上渐近曲线的微分方程为　　　　ij duiduj  0 ．在 S 上，由渐近曲线所构成的参数网通常称为渐近曲线网．类似于对曲率线网的讨论，对于渐近曲线网可证（留作习题）下述结论．定理3　已知正则曲面 S: r(u, v) ．则 (u, v) 坐标曲线网构成渐近曲线网的充要条件为 S 的第二基本形式系数满足 11  22  0 ．习　题 ⒈　对可展曲面，试证：直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线． ⒉　设两张正则曲面 S 和 S* 有正则交线 C ，并且 S 和 S* 沿着 C 具有恒定的交角．试证：C 是 S 的曲率线的充要条件为 C 是 S* 的曲率线． ⒊　设两张可展曲面 S 和 S* 有正则交线 C ，并且 S 和 S* 的直母线分别沿着 C 处处正交于 C ．试证：S 和 S* 沿着 C 具有恒定的交角． ⒋　设曲面 S 上的一条曲率线 C 不是渐近曲线，并且 C 的密切平面与 S 的切平面具有恒定的交角．试证：C 是平面曲线． ⒌　设正则曲面 S 由右手直角坐标系 O-xyz 下的隐式方程 Q(x, y, z)  0 确定．试证 S 的曲率线微分方程为　　　　 dx dy dz Qx Qy Qz dQx dQy dQz  0 ． ⒍　证明定理3． ⒎　试证：若曲面在一点处具有三个两两不平行的渐近方向，则该点必为平点． ⒏　已知曲面 S 在每一点处具有负Gauss曲率．试证：曲面 S 在每一点处的主方向平分该点处的渐近方向． ⒐　设曲面 S 上的正则曲线 C 无逗留点．试证： C 为 S 上的渐近曲线的充要条件为C 的密切平面与 S 的切平面重合． ⒑　设无逗留点曲线 C: ui  ui(s) 为曲面 S: r(u1, u2) 上的弧长参数化渐近曲线，以  为挠率函数．试证：沿曲线 C ，　　①　S 的Gauss曲率     2 ；　　②　  1  g  ( du2 ds)2  du1 ds du2 ds ( du1 ds)2 g11 g12 g2211 12 22 ．

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