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发表于 2008-1-12 11:56:26
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来自： 中国上海
* G- n: v+ I6 ^6 C p' g" P2 |5 O* J. Y! d/ ]
证明如下：
% ?. I! `- ?) X+ j1 k
- T/ m' B1 \5 q, @/ ?5 Y4 X设f(t)=[t^(n-1)×e^(-t/T)]/[(T^n)×(n-1)!] 后面的除数都为常量，设为A＝T^n×(n-1)!* z) ^3 v+ f/ E3 c$ `! ]3 T4 W
! z, N# b. D$ ]$ e" B& y- t
此为幂函数和指数函数的乘积，各自连续相乘之后曲线也必然连续，所以导数为零。* P4 Z p- \$ s: K) F
8 G1 e( U0 k3 Kf(t)的导数为：f'(t)=A×〔（n-1）×t^（n-2）×e^（－t/T）＋t^（n-1）×（－1/T）×e^（－t/T）〕导数也为幂函数连续- u, }8 O) G+ f0 c, p. a: Z
# {9 ^$ q" o3 n: u, J3 }
令f'(t)=0 消去e^（－t/T）以及t^（n-1），即得t=T×(n-1)，函数在t=T×(n-1)时都极值。以下分析证明该点处函数的极值为最大值。3 H) l: H* \* L8 K3 |
* R$ }% k% M0 }: U. \这里楼主似乎缺少了一个条件，就是t恒大于0，即t>0，否则还要取决于n的大小判别导数的正负。
8 _+ r3 u4 z" a$ z+ q! S$ b% q6 Z! m/ X) _2 B
由上述条件，得知f'(t)=｛〔T×(n-1)－t〕×t^（n-2）×e^（－t/T）｝/T+ S3 V; Z6 l# i7 \1 _' }
" \# d3 Q& ~% Q& v5 p, D F2 r由于t^（n-2）>0，e^（－t/T）>0 所以f'(t)的正负即f(t)的变化方向取决于〔T×(n-1)－t〕的正负# @" {, F, e4 Y" P2 \; B6 r
* W) y9 L X; v: j当t<T×(n-1)时，T×(n-1)－t > 0，则f'(t)>0，函数值一直增加
; E, @& ]7 ~8 v- `% F, j0 g: R7 E: C当t>T×(n-1)时，T×(n-1)－t < 0，则f'(t)<0，函数值一直减少/ o2 u E# L2 V' j0 n: J
# n& r$ E, h7 b2 ~7 X; l
所以在t=T*(n-1)时，函数拥有最大极值。 |
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