经典难题

wisyf1314

1.请证明0.999999999999999999........999999=1
2.请证明0.00000000000...............000000001=0
3.已知11个小球中有1个重量与其它10个不相同.现只有一个天平,请称3次或3次以内将那个小球找出来.

注:1.不需用深奥的理论,初中水平以下即可.2.答案有多个

HTQIANG

不會

hoopoe

1设A＝0.999999999999999999........999999            (1)
则10A＝9.99999999999999999........999999           (2)
(2)-(1)得：
9A＝9，A＝1，即0.999999999999999999........999999=1


2设B＝0.00000000000...............000000001
则10B＝0.00000000000...............000000001，
即10B＝B，B＝0，
也即0.00000000000...............000000001＝0




3    11=5×2+1=(2×2+1)×2＋1＝[（1＋1）×2＋1]×2＋1
说明：第一次：天平各放5个，若两边等重，则剩余那个就是，若不等重进行第二次（对应5×2+1）
          第二次：再次分别把两边各5个用同样的方法（即天平各放2个）。不等就进行第三次（对应2×2+1）
          第三次：天平各放1个 （对应1＋1）

[ 本帖最后由 hoopoe 于 2007-8-14 22:31 编辑 ]

HTQIANG

樓上比較有勇氣 good

chai

恐怖的证明题。。。。

mdsli

若A有限,
假设A=0.999,
则10A=9.99,
10A-A=9.99-0.999=>
9A=8.991=>
A=0.999

又绕回来了

第二题同理


第三题可以解12个球
但没看懂这种解法

[ 本帖最后由 mdsli 于 2007-8-14 23:06 编辑 ]

lgr222

原帖由 hoopoe 于 2007-8-14 22:15 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif
1设A＝0.999999999999999999........999999            (1)
则10A＝9.99999999999999999........999999           (2)
(2)-(1)得：
9A＝9，A＝1，即0.999999999999999999........999999=1


2设B＝0.0000 ...

1设A＝999999999999999999........999999            (1)
则10A＝999999999999999999........999999           (2)
(2)-(1)得：
9A＝90000000........0000，A＝10000000......00000000，即999999999999999999........999999=1
:lol: :lol: :lol: :lol:

wisyf1314

第三题好像行不通哦!

fancl

三题不行，不等重并没说那一个球比其他球轻或重，第一次（各5球）不等重之后，第二次取哪一边的5个球来称呢，同样，第3次也不知取哪边的两个球来称塞。
一、二题还可以。

wisyf1314

三楼的一二题解法正确,但至少还要两种以上的解法哦,大家努力哦 :handshake

mdsli

12个球找怪球的解法：

首先在天平两端放4个球

1 如果平衡，从剩余的球里拿出3个换下任意3个正常球
  a 如果rp爆发，仍然平衡，剩下那个一直没动的球是怪球，与任一正常球再称一次就知道轻重了。
  b 如果天平倾斜，那么
    *我们就知道怪球在3个球之间，同时知道怪球的轻重。这时候只要再称一次就很容易推断出来*

2 如果不平衡，从轻端拿3个球下来，从重端移3个球过去，再从剩余的球里拿出3个放到重端
  a 如果天平没变化，则
要么怪球是轻球，是轻端没动那个
要么怪球是重球，是重端没动那个
再称一次就知道。

b 如果天平平衡了，则怪球是轻球，在从轻端拿下的那3个球当中，用*的方法再称一次就知道
c 如果天平倾斜方向改变，则怪球是重球，在从重端移过去的那3球当中，用*的方法再称一次就知道

shunjie_cao

又上了一课

wisyf1314

11楼的朋友够利害!

如里称11个小球的话除此方法外还有解法 :lol: :lol: :lol:

olive_fy

1、2题我的方法最简单，哈哈

1、0.99999……99＝0.1111……11*9＝（1/9）*9＝1
2、0.00000……01＝1-0.9999……99＝1-1＝0
3、11楼正确

[ 本帖最后由 olive_fy 于 2007-8-15 15:21 编辑 ]

china_jxp

其实关于11个球的问题，你的解答是不对的。因为你不知道那个不一样的球是重还是轻，所以如果第一次天平不平衡的话，3步是区分不出来的。

[ 本帖最后由 china_jxp 于 2007-8-15 15:06 编辑 ]

china_jxp

12个球称重问题

12个球,大小同,其中一个重量不同。现有一个天平,要用这个天平称3次找出这个不同重量的球,如何称?
第一步：把12个小球平均分成3份如下(数字表示球的号码)

第一组：1，2，3，4                   第二组： 5，6，7，8                 第三组： 9，10，11，12

拿第一组和第二组的分别放在天平的两边（第一次用天平），

下面分两种情况讨论：

           （1）天平平衡：那么不规则小球在第三组中，即9，10，11，12中。那么，好办（1---8都是规则球），拿三个规则球和9，10，11分别放在天平的两边（第二次用天平）。哈哈，如果这次还平衡，那不规则的家伙就是12号了。如果还不平衡的话，又要分两种情况了：

                      i.放9，10，11的一边下沉，这说明不规则球就在9，10，11中并且不规则球是重球，既然这样，我们就把 9 和 10 号球分别放在天平的两边（第三次用天平）把。这样不规则球就是 9  ， 10当中重的那个，如果9，10平衡的话就是11了。

                       i.同理，如果9，10，11的一边上升，就说明不规则球就在9，10，11中并且不规则球是轻球，既然这样，我们就把 9 和 10 号球分别放在天平的两边（第三次用天平）把。这样不规则球就是 9  ， 10当中轻的那个，如果9，10平衡的话就是11了。

                        至此经过三次使用天平，就把把问题解决了，哦，只是解决了一半，剩下的一半-------come on.

             （2）天平不平衡：这种情况比较复杂，让我们慢慢来。这样，我们不妨假设第一组比第二组重（这种假设并不影响我们的推理），务必要记住这一点：1+2+3+4 > 5+6+7+8，并且9，10，11，12都是规则球。

                     好，第二次用天平，我们这样：１，２，５，６一组，８和规则球一组就８，９，１０，１１把（为什么要这样？），下面又要分情况了，情况比较多，千万要记住每一种情况的前提条件是什么

　　　　　ｉ．天平平衡，即１＋２＋５＋６＝８＋９＋１０＋１１，这样１，２，５，６，８　又被确定是规则球。不规则球就在３，４，７中了，既然这样我们第三次用天平就比较３和４，如果３＝＝４那么不规则球就是７，如果３＞4那就是3了（想一想为什么，还记得我们前面的假设吗？）

                     ii. 天平不平衡，那不规则球就在1，2，5，6，8中又要分情况了。

若1+2+5+6 < 8+9+10+11则不规则球是5，6中较轻的一个，这样再用一次天平（第三次用天平），取较轻的那个。

若1+2+5+6 > 8+9+10+11则不规则球在1，2 和8中，而且要么是1，2中较重的那个要么是8，ok？let‘s go !第三次用天平就比较1和2，如果1！=2，则取较重的那个，否则1==2那么不规则球就是8。

[ 本帖最后由 china_jxp 于 2007-8-15 15:29 编辑 ]

china_jxp

11=5×2+1=(2×2+1)×2＋1＝[（1＋1）×2＋1]×2＋1
说明：第一次：天平各放5个，若两边等重，则剩余那个就是，【若不等重进行第二次】（对应5×2+1）
          第二次：再次分别把两边各5个用同样的方法（即天平各放2个）。不等就进行第三次（对应2×2+1）
          第三次：天平各放1个 （对应1＋1）

关键是不平衡，你选哪5个进行第二步？你这么做，3步是不够的

[ 本帖最后由 china_jxp 于 2007-8-15 15:21 编辑 ]

xiaozhu0607

九九朵玫瑰代表唯一啊
这个很大胆很创新把 ^_^
要给加分啊  ^_^

skyey

有点晕！~~~~
慢慢捋！~~~~

hoopoe

原帖由 china_jxp 于 2007-8-15 15:09 发表 http://www.3dportal.cn/discuz/images/common/back.gif



关键是不平衡，你选哪5个进行第二步？你这么做，3步是不够的

重新细看了一下题目，的确仅3步无法做到，因为未知要找出的球与标准球孰重孰轻。

zhangyudong1106

偶只知道前两道题用高中的极限就能证明 不过具体怎么证明就不晓的了  这么多年过去 不怎么用 都忘了 ~~~~

cmruncmrun

1)先将小球分成A组:5球,B组:6个球

2)取B组6个球,放在天平两端,一边3个(第一次称重). 如果天平是平的,说明这六个球重量完全一样. 即那个不同的球在A组,见步骤6;   如果重量不同,说明重量不同的球就在B组之内,而A组的球全部都一样,继续步骤3

3)第一次称时天平两边两组球我们分别叫它们为B1,B2.通过观察天平的倾斜,这时可以知道,要么B1>B2(B1比B2重),要么B1<B2,记下来.

4)从A组里面取三个球,放在天平左边,右边放B1的3个球,(第二次称重)这时观察,如果左右相同,说明B1中的球跟A组球完全一样,也就是,要找的那个球在B2中.同时由于B1中的球全部都是标准球,所以根据步骤3中的天平倾斜,也可知那个目标球比其他球是更重还是更轻.(如果天平倾斜,则说明B1中必定就包含了目标球,而且直接知道目标球比正常球重还是轻)

5)现在已经知道了目标球在哪一组,B1或者B2.而且知道了那个球是比正常球重还是轻.这时只需取其所在组的3个球中的任意两个,放在天平左右两边,(这是第三次称),如果相同,说明剩下那个球就是要找的球,如果倾斜,由于前面知道了目标球是更轻还是更重,所以就可以判断出其中哪一个是我们要找的球.

6)如果要找的球在A组的5个球中.那么接着,将其分A1(2个球),A2(3个球)两组.接着做两件事,一:从A1和A2中分别取出一个球x和y放在旁边先不动.二:同时再从B组里借一个球(注意,B组球全部都是重量标准的球)过来放在A1中,这时,A1和A2分别有2个球,将A1和A2放在天平左右两边(这是第二次称重),如果这时左右相等,那么见步骤7;如果左右不等,见步骤8

7)那个要找的球必然在x,y之中,那么只需再从B中拿一个球来放在天平左边,天边右边放x,如果平,那么y必是那个重量不同的球;如果不平,那么x就是要找的球.(这是第三次称重)

8)A1和A2不等,这时,先观察一下A1>A2,或者是A1<A2,

如果是A1>A2,说明有两种情况,第一种是,A1中有异重球,且重量比普通球重,第二种情况是,A2中有异常球,重量比普通球轻.由于A2中有一个球是从B中借来的,肯定是正常球.于是,(进行第三次称重),将A1中的两个球在天平两边一边一个.如果相同,说明,A2中余下的那个球是要找的球(注意这是刚刚提到的第二种情况).如果不等话,那么只可能是第一种情况,即"A1中有异重球,且重量比普通重重",所以重的那只就是要找的.

如果是A1<A2,也有两种情况:一:A1中有异重球,且重量比普通球轻;二:A2中有异重球,且重量比普通球重. 然后.也是称A1中的两个球(第三次称重),如果天平是平的,刚是第二种情况(即A2中除借来那只球外,剩下的球是目标球).如果天平不平.那么更轻的那只是要找的球.

www191710

解答第一题:

设A=1/9=0.111111........111111
则9A=9x0.111111.....111111=0.999999.....999999=9x1/9=1

[ 本帖最后由 www191710 于 2007-8-16 09:22 编辑 ]

killercb

高手就是高手，不得不佩服
典型的

china_jxp

当2N≤3的t次方-3时，我们能够在t次内找到N个球内唯一一颗坏球，并得知其比标准球轻还是重。（引用资料略）
#11楼解法虽然不错，但是不利于推广到其它的类似问题。例如  5次天平解决120个球，按照11楼的做法信息损失太多，5次不够。

可利于推广的11球（12球）方法如附图

[ 本帖最后由 china_jxp 于 2007-8-20 08:59 编辑 ]