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[讨论] 一道练习题：平行四边形内作一点，17楼已更新

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chenmik
发表于 2015-3-18 01:10:44 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自： 中国北京

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本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-23 03:58 编辑 / d3 ]; f( o5 E
* _' r1 f! U9 }7 S4 R& a4 C
不知是否有尺规解法？
9 j' w6 x! w  `
) [  J- l4 `8 z5 T4 ~ 0318.png
# ?) Z  K. m/ J7 w0 Z
9 P7 \8 |4 u6 U+ A9 C: J- \" D( `6 K* a. |7 ]) T' C" O5 z$ j# X  x) V
, F$ r& p! b8 ?% z. |8 o  Y# ], |1 N1 @

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 14:09:49 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
本帖最后由 gongwen0519 于 2015-3-20 13:02 编辑 ' v& Q: E" v9 s$ f. b

% j. v7 e2 c# ]; X' g9 E# F' e还不确定是否有几何解：' w* p: S  W2 s  W9 p7 }
& p. o; d0 n  B  e6 {. m
t01.png ' {, o6 w$ v/ g  \

: _/ _! A& X9 W3 J2 n如图之表达式解为一个一元四次方程：
. D' `. ?2 x7 Y" M- c t02.png
2 C# l: t4 ?; b代入实际数值后的解(两解)：; q) \( ?" |" c

: k; ]8 ]$ D! c* h; o3 x# d& v& r7 u) h& U8 p
t03.png
6 d( B2 P4 L/ _. a) V7 d8 H' Z" p; o; E7 p3 b( @# a( [
代入实际数值后的解(三解)：
- t. }4 c: `. y6 w8 Z, X  T, m保留小数点后30位的结果
. m: Q8 r6 T4 _9 r% R" F- ]- f! |* xx1=38.985534244575677111867597514724...
& T1 x0 v) B/ l9 Z( e* ex2=62.902065065595016213542181604494...
/ e0 B4 j6 k/ z& U, u5 Tx3=98.993886637656592827324489123149...
, E9 ^5 C) h" g( k( o% p5 n+ Ix4=-78.011199957827286152734268242367...(舍弃)
3 @5 q+ V  Y$ Z" B8 T
7 C4 h% [8 ]5 L- j$ r: p$ b
( ]& f: G/ L3 k3 `6 f& C. m
4 s$ |$ B" Y. y# _8 O
" w' D% T- b  C' n" O* t" C4 y' ^' U: _) T; I/ v

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 14:17:15 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
ACAD:" F) \3 F9 _" I2 A/ @6 t& E% b3 _
0 h. ?, k4 X, R) _
t04.png

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woaishuijia
发表于 2015-3-18 15:32:56 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-18 20:30 编辑
& J8 a( {# S' n  \8 R
gongwen0519 发表于 2015-3-18 14:09 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif, P8 ?) v# X; T* R, F0 ^3 U2 l( ]+ `
还不确定是否有几何解：

& E8 x8 a! [. S% E  p3 T- q* x. o8 N, S% k/ L
可以直接列出一元二次方程的，所以肯定有几何画法3 c5 N! T6 U5 k( _) C: y
& [( e1 `* I3 C4 U" U# k0 Y
错了，是二元二次
% t4 O1 ]) {' \1 B  }4 C8 X可以整理成两个椭圆相交
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-18 15:59:51 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
gongwen0519 发表于 2015-3-18 14:09 static/image/common/back.gif. `  n# o6 d9 N' R' @
还不确定是否有几何解：
/ G# X6 K7 a% l4 @! g$ {
大神。您这个太深奥了！
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gongwen0519
发表于 2015-3-18 21:17:03 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
woaishuijia 发表于 2015-3-18 15:32 static/image/common/back.gif& h+ V3 ^2 b! j' A+ K
可以直接列出一元二次方程的，所以肯定有几何画法
' ]: k& F% p' j, y; y* G, p- X( z
9 r! k. z) M" ]" ^1 Q+ h; C错了，是二元二次

5 O; e' s# e. o9 o0 f1 T呵呵，分别用余弦定理和托勒密定理都试过了，似乎就是个四次方程，将图形转化成下图右边那个共圆四边形，似乎理论上可解（四边形具备5个条件即可解）：
! C2 B) R& K- I4 _( V+ c3 l( r9 }/ W6 X# n: h" o9 z' D
kejie.png
! y, o9 z- g9 `/ ]; L/ k
+ ^7 G7 ?6 L! A
1 Y$ j/ {: I+ }! O
8 k4 K! U" [# f5 l# [7 F- _

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 21:40:41 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
问题探究：
6 a5 H- z# F9 K' L" C, J* P) ^! n: t' ?$ l
yanjiu.png - x, ^. ^& d4 H- F- K  e1 m

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 06:22:15 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-19 08:03 编辑 ; c: r- o/ ~. m5 X
gongwen0519 发表于 2015-3-18 21:17 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif: @) p7 c, u5 B( E5 c% O2 S- \
呵呵，分别用余弦定理和托勒密定理都试过了，似乎就是个四次方程，将图形转化成下图右边那个共圆四边形， ...
' @6 F: K/ v9 _
* L- s) S' Q5 `; J" v& u
你的四次方程应该是化简的结果吧？既然能列出一元四次，就应该能列出二元二次。
" v! D( k; u4 v- S: ?3 r二元二次实质就是两条圆锥曲线相交，且最终可以变换为两个椭圆（或圆、直线）相交，这对画图是有指导意义的。
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-19 10:33:43 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
感谢0519和W版两位大神的。这道题是我在别处看到的，据说是根据奥林匹克竞赛题改的。然后他们在讨论时的思路是，要满足题意，那必定a=a1,b=b1，作出这条轨迹即可解。
. `' [0 r- V1 L. ?( v5 n. p 0319.png

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 10:46:22 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
chenmik 发表于 2015-3-19 10:33 static/image/common/back.gif
: u  V4 Z$ D5 _5 _: A9 D4 t8 l感谢0519和W版两位大神的。这道题是我在别处看到的，据说是根据奥林匹克竞赛题改的。然后他们在讨论时的思路 ...
( Q. N0 e; {3 |) Z; X' q$ d
思路是正确的，但离终点还远着呢，呵呵) f9 K8 I4 z) v. v& x
Untitled-1.gif

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qwerabcd
发表于 2015-3-19 15:58:58 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖
本帖最后由 qwerabcd 于 2015-3-19 16:02 编辑
' n; a# \# u; e0 @" T1 l/ l( n7 v# C4 k( a6 l- v, C8 Q
这题不好做。
捕获.JPG
捕获1.JPG
捕获3.JPG

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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-19 16:06:13 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
qwerabcd 发表于 2015-3-19 15:58 static/image/common/back.gif* S; [0 K: r& L0 z# m# s  B6 n
这题不好做。

3 Q7 R9 [! M5 b3 m大哥，是平行四边形啊
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qwerabcd
发表于 2015-3-19 16:23:55 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖

0 V, n  o' |! a- Y" q, G经作图得知，该题应该无解。
/ ?- M+ I$ e, w* x$ ^0 f3 {
% V, j  o6 l* W- i8 A. H3 _/ h7 q 捕获.JPG ; o) |/ ~6 j) T! v6 X2 p3 L& R" `
那几个条件相干涉。) E4 X. S' i8 V/ g2 D

- n/ A* V0 j3 v6 I6 p

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qwerabcd
发表于 2015-3-19 16:27:18 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖

; e) W1 R9 j$ u& i) r. r, F1 T 捕获.JPG 6 Y9 O( \/ ^; `1 w( i

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 16:28:53 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-19 16:30 编辑 , [+ p, f6 v" g( K' v5 I; w- N
qwerabcd 发表于 2015-3-19 16:23 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
( C4 m$ b' n. X: A. R7 {1 H经作图得知，该题应该无解。

" u6 M1 @& G# c3 [, W% C* c, S+ U
& m9 g- n7 B5 {+ K; s# _7 W有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里
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qwerabcd
发表于 2015-3-19 19:11:52 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖
woaishuijia 发表于 2015-3-19 16:28 static/image/common/back.gif
2 k% x& N$ z8 H/ u有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里

0 V9 E6 X# {) R* k2 C+ e" e; k, W  b9 F1 z1 q) M9 u3 t# {& h# z* \
很对。自己搞出来了。其实对过约束的理解错误。
+ j% J# T( a0 r6 c. L
. a6 g! T) _$ X" c% O4 D0 O有尺寸冲突，才是有解的。谢谢！
: f, ^# R' H& `! y( ?7 x2 z 捕获.JPG
$ E& L; V2 ^2 C! ~; R* n5 I: H* u, ?# y) w' {# @
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 01:58:49 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-23 03:55 编辑
& u( @" }5 f! ^, g- m; @" H8 k, J
woaishuijia 发表于 2015-3-19 16:28 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
& @7 i3 @) v( f4 e, R有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里

( I, s' u2 m% e错了，有三个解. X* ~( R3 n( ?

1 m0 `; x8 j  U2 H' N 如图-1.gif 如图-2.gif 如图-3.gif 如图-4.gif 如图-5.gif 如图-6.gif

Drawing1.rar

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如图.pdf

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gongwen0519
发表于 2015-3-20 13:07:02 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
woaishuijia 发表于 2015-3-20 01:58 static/image/common/back.gif- h5 b; R; `. B- D3 f5 V; P" P6 m
错了，有三个解

3 z* f* M' @, S! p# ^- t由此看来应当是无常规的几何解法了，版主的数学功底扎实呀。
! \& j6 G' D9 a. K+ M0 X9 ?. m2 u3 z2 x. Z# @
楼上pdf文档是用Latex排版的吧。
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 13:44:40 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
gongwen0519 发表于 2015-3-20 13:07 static/image/common/back.gif7 ~( B& i4 G7 R8 T+ h
由此看来应当是无常规的几何解法了，版主的数学功底扎实呀。
& O% h5 `9 J; C3 a
# X4 `- e, E1 T' x1 P+ z" i楼上pdf文档是用Latex排版的吧。
; i, B. E8 R' ]0 s2 R# E
在二维也能画，用双曲线代数式和圆的代数式可以组合得到椭圆的代数式，从而画出椭圆和圆，其交点即为所求。只是计算过程很麻烦，还不如三维圆锥画法省事呢。本想今天花点功夫完成它，不料早上电脑崩溃了，正在重做系统。现在发帖也是用手机发的，呵呵。& W) j' J0 R$ y/ |8 m8 C+ z7 z! m
PDF文档是用ADOBE ACROBAT10.0自带的虚拟打印机打印WORD文档生成的
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-20 14:53:41 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
woaishuijia 发表于 2015-3-20 13:44 static/image/common/back.gif
& @! |) {5 z0 q在二维也能画，用双曲线代数式和圆的代数式可以组合得到椭圆的代数式，从而画出椭圆和圆，其交点即为所求 ...
8 x  O: |' u! u' n
感谢W版，期待圆锥画法
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 16:42:36 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁
chenmik 发表于 2015-3-20 14:53 static/image/common/back.gif2 w  \5 \) Z7 Z9 R% l' s! J
感谢W版，期待圆锥画法

2 C. ~" \1 q% s0 O1 ]已经上传的就是圆锥画法。等电脑收拾好后，再抽时间做椭圆画法
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woaishuijia
发表于 2015-3-23 07:39:15 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
17楼已更新，含椭圆画法
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-23 13:09:22 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
woaishuijia 发表于 2015-3-23 07:39 static/image/common/back.gif
4 [3 \# B6 A- A, o. p" V, ?17楼已更新，含椭圆画法
" d1 E+ u& @$ r2 Y. T# |
谢谢W版，刚看到，已下载学习。
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周建朝
发表于 2015-3-23 19:52:06 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
完全看不懂
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keilei001
发表于 2016-2-23 00:28:41 | 显示全部楼层 来自： 中国广东肇庆
本帖最后由 keilei001 于 2016-2-23 00:32 编辑 6 k# h' ~- r7 u
woaishuijia 发表于 2015-3-20 01:58
* V: D$ e( w1 a9 _错了，有三个解

" V# N, g' x; [' E- w1 }+ N. w% d版主数学了得，方程式也排得很漂亮，请教用什么软件编辑方程式的呢？
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