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[讨论] 一道练习题：平行四边形内作一点，17楼已更新

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chenmik
发表于 2015-3-18 01:10:44 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自： 中国北京

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本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-23 03:58 编辑 : E/ e. T9 q, |9 R6 F" u1 |4 R8 u

$ ?; q  t: @; r( w" d$ \不知是否有尺规解法？2 E+ x8 H+ ~/ K5 o1 Z* f
/ k* ~! l1 @0 a
0318.png
  ^! g2 v! C& h+ J( ]$ u) |, B$ @5 v8 i, M# g
3 ^! u4 X) c& l( @- i

" @; L7 f5 l# I2 ]

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 14:09:49 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
本帖最后由 gongwen0519 于 2015-3-20 13:02 编辑 1 }* R) b1 T/ \( O! m6 ?- V: e; w
' I3 M8 I+ v' i
还不确定是否有几何解：
* O( l' U3 }2 k- C1 i0 R
/ m: l0 u" Q/ `. b t01.png 1 r% I# [: c) k8 q3 K

# K3 z7 {! z7 H) ~0 Z- ?* d; V0 [如图之表达式解为一个一元四次方程：
0 A3 q9 o4 Y  x3 } t02.png
. }7 v4 U5 T- v5 ~  r4 A代入实际数值后的解(两解)：
/ S* i7 {# s( m7 H% R4 r' E9 O7 q0 A# N2 X
; w7 G4 u- A$ |- j- X% h
t03.png : t, g; S2 y6 k
1 u& h# S8 x) \3 u, C
代入实际数值后的解(三解)：8 b! ]4 n1 }- h( y* }
保留小数点后30位的结果5 _) p0 A% m/ v5 v
x1=38.985534244575677111867597514724..., Q' l$ C/ B! S) O, u) ]/ D
x2=62.902065065595016213542181604494...
7 m; t  Y" K8 K2 r$ zx3=98.993886637656592827324489123149...
+ r( c& w& j  T9 P( G. C2 I( [, qx4=-78.011199957827286152734268242367...(舍弃)# ]* t: t4 l% b' t
( \* k* Q( v$ J$ h4 p0 l
7 |4 F1 e6 y' P" K8 z0 Y' D

" n2 r% L( ?: F5 k5 b
, `" F0 J2 }2 E! S" P4 x- w9 k3 y! i

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 14:17:15 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
ACAD:
2 z; c* d- t1 m2 R, N# T# ]/ h9 K4 H( M, R$ m
t04.png

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woaishuijia
发表于 2015-3-18 15:32:56 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-18 20:30 编辑
, [! e! A3 t) W; `$ ]
gongwen0519 发表于 2015-3-18 14:09 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
$ |" o- b3 \1 _" D( [还不确定是否有几何解：
9 g5 X9 @6 _. g8 F( O
8 u' \: l8 v, X1 M8 M. w- U
可以直接列出一元二次方程的，所以肯定有几何画法
0 ?6 \. E$ ^! d9 X+ k  _0 U# j+ |* Q# f% y# h
错了，是二元二次
- U5 _: x" A) C# q& v可以整理成两个椭圆相交
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-18 15:59:51 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
gongwen0519 发表于 2015-3-18 14:09 static/image/common/back.gif3 g/ i* v1 C2 [5 z* J
还不确定是否有几何解：
5 @1 ^) A* c3 `8 }) s6 y. a
大神。您这个太深奥了！
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gongwen0519
发表于 2015-3-18 21:17:03 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
woaishuijia 发表于 2015-3-18 15:32 static/image/common/back.gif2 [! Z7 s, B5 o9 n7 K1 r
可以直接列出一元二次方程的，所以肯定有几何画法
6 `# l* D& n" Q
( t+ v% I: M1 m/ e错了，是二元二次
  ^0 e* K0 j/ H* u$ l
呵呵，分别用余弦定理和托勒密定理都试过了，似乎就是个四次方程，将图形转化成下图右边那个共圆四边形，似乎理论上可解（四边形具备5个条件即可解）：
' ^- B* @: t' E1 K0 q5 x" s. q0 C" |' K4 x: F- ~8 d
kejie.png / U, T# a( o2 M% U+ a) o

+ P- k" L  |$ k
) [3 Y3 z7 d8 \. ^# s
9 {/ n+ E/ M1 f/ a: `' K

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gongwen0519
发表于 2015-3-18 21:40:41 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
问题探究：
: F7 N; }8 ^5 M3 L8 c! p2 T8 z9 ~! D- O% e" U0 b7 G
yanjiu.png
( ^, G1 V+ d6 R# v0 C* o

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 06:22:15 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-19 08:03 编辑 6 v0 Q+ I* T# [( }. q2 _- ]
gongwen0519 发表于 2015-3-18 21:17 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif. f" ?! r# }& q! U
呵呵，分别用余弦定理和托勒密定理都试过了，似乎就是个四次方程，将图形转化成下图右边那个共圆四边形， ...

) x- C% V: m- u; M9 M, Z. U! B3 B
你的四次方程应该是化简的结果吧？既然能列出一元四次，就应该能列出二元二次。  T: f% M7 G! Z
二元二次实质就是两条圆锥曲线相交，且最终可以变换为两个椭圆（或圆、直线）相交，这对画图是有指导意义的。
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-19 10:33:43 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
感谢0519和W版两位大神的。这道题是我在别处看到的，据说是根据奥林匹克竞赛题改的。然后他们在讨论时的思路是，要满足题意，那必定a=a1,b=b1，作出这条轨迹即可解。* b2 H: c# o0 P. j. O! h- g
0319.png

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 10:46:22 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
chenmik 发表于 2015-3-19 10:33 static/image/common/back.gif3 M3 ]' k' g: I$ j/ {
感谢0519和W版两位大神的。这道题是我在别处看到的，据说是根据奥林匹克竞赛题改的。然后他们在讨论时的思路 ...

! ]+ s6 r) q1 {7 {( C& z# Y思路是正确的，但离终点还远着呢，呵呵: T4 r" I* D% g) J: H* V
Untitled-1.gif

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qwerabcd
发表于 2015-3-19 15:58:58 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖
本帖最后由 qwerabcd 于 2015-3-19 16:02 编辑 6 {' E  q, T# g4 k
+ O2 p, Y  @0 y% B
这题不好做。
捕获.JPG
捕获1.JPG
捕获3.JPG

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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-19 16:06:13 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
qwerabcd 发表于 2015-3-19 15:58 static/image/common/back.gif, {6 j% V8 @3 R" H, C' h  A
这题不好做。
- k; J4 S  n0 x4 N% P9 E
大哥，是平行四边形啊
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qwerabcd
发表于 2015-3-19 16:23:55 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖

, L3 Z: q; d) v: ?. v经作图得知，该题应该无解。
2 W, S, j' Q6 _+ h% R
8 ^  H% X$ T7 @; ~- R- A* M 捕获.JPG 0 |) Y9 V: M: ]# ?
那几个条件相干涉。. H7 ?3 n2 I1 @9 z

1 D5 t( a. y* p4 m3 u

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qwerabcd
发表于 2015-3-19 16:27:18 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖
/ e7 q- M4 Y: C8 g. ~) k7 B$ G. d
捕获.JPG
! v0 D! _# W# Q8 W) x

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woaishuijia
发表于 2015-3-19 16:28:53 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-19 16:30 编辑
; N: H7 D0 r* |! `
qwerabcd 发表于 2015-3-19 16:23 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
6 a8 Q! d0 x5 x, e5 L% R经作图得知，该题应该无解。

- B9 e+ J1 [; d# U2 g; k. J& i# [; K. C) j2 @' W% O4 p4 D
有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里
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qwerabcd
发表于 2015-3-19 19:11:52 | 显示全部楼层 来自： 中国安徽芜湖
woaishuijia 发表于 2015-3-19 16:28 static/image/common/back.gif/ }; m  L/ ~" ?( H
有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里
/ ?2 b6 Y5 Y; x/ g! y) s
3 q2 x% r) f' O7 g. P
很对。自己搞出来了。其实对过约束的理解错误。* v! l) W+ S' @. `3 v. w5 G
7 }0 b& w  Z: u5 H0 |
有尺寸冲突，才是有解的。谢谢！
3 j4 O3 N1 `" N) o" [: E 捕获.JPG
* D# A! q- p5 D$ b5 R! H4 X% q  V& f9 M, b! R6 N" y4 w
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 01:58:49 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
本帖最后由 woaishuijia 于 2015-3-23 03:55 编辑 : c2 \  F" E4 l4 p2 V
woaishuijia 发表于 2015-3-19 16:28 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif6 N) n- p0 ~$ ~3 T- R8 R
有解，而且有两个解，呵呵，3楼的结果摆在那里

6 ^: V/ v1 L; s: d3 \( l错了，有三个解0 P* }. f( h1 f0 t( L, l7 U% p

# w, y- m1 F) N 如图-1.gif 如图-2.gif 如图-3.gif 如图-4.gif 如图-5.gif 如图-6.gif

Drawing1.rar

79.11 KB, 下载次数: 26

如图.pdf

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gongwen0519
发表于 2015-3-20 13:07:02 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
woaishuijia 发表于 2015-3-20 01:58 static/image/common/back.gif
! K+ `9 f( A  K" M错了，有三个解

8 R2 X5 d5 B' R由此看来应当是无常规的几何解法了，版主的数学功底扎实呀。
! X% H! T& P" i# |7 W$ e. Q$ W! e
楼上pdf文档是用Latex排版的吧。
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 13:44:40 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁营口
gongwen0519 发表于 2015-3-20 13:07 static/image/common/back.gif
. ~# m" ]7 q/ x0 F  a由此看来应当是无常规的几何解法了，版主的数学功底扎实呀。* P3 g# O! t! p, F4 O. k6 x" l
, {% }% l. w# i% G) d; X
楼上pdf文档是用Latex排版的吧。

  K( |( v2 D/ e- K$ ~8 _在二维也能画，用双曲线代数式和圆的代数式可以组合得到椭圆的代数式，从而画出椭圆和圆，其交点即为所求。只是计算过程很麻烦，还不如三维圆锥画法省事呢。本想今天花点功夫完成它，不料早上电脑崩溃了，正在重做系统。现在发帖也是用手机发的，呵呵。7 T2 Q7 `$ O8 H- B9 }
PDF文档是用ADOBE ACROBAT10.0自带的虚拟打印机打印WORD文档生成的
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-20 14:53:41 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
woaishuijia 发表于 2015-3-20 13:44 static/image/common/back.gif5 P* G6 I0 _9 L! L2 ~, t& X
在二维也能画，用双曲线代数式和圆的代数式可以组合得到椭圆的代数式，从而画出椭圆和圆，其交点即为所求 ...

4 R# p% w7 |+ r6 I感谢W版，期待圆锥画法
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woaishuijia
发表于 2015-3-20 16:42:36 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁
chenmik 发表于 2015-3-20 14:53 static/image/common/back.gif! _  S! b! C6 w/ f* H
感谢W版，期待圆锥画法

: }! A) D3 B8 R' q# r' b已经上传的就是圆锥画法。等电脑收拾好后，再抽时间做椭圆画法
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woaishuijia
发表于 2015-3-23 07:39:15 | 显示全部楼层 来自： 中国辽宁抚顺
17楼已更新，含椭圆画法
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chenmik
 楼主| 发表于 2015-3-23 13:09:22 | 显示全部楼层 来自： 中国广西南宁
woaishuijia 发表于 2015-3-23 07:39 static/image/common/back.gif
% ~+ o6 w$ Q4 z+ e" V& y9 c# G17楼已更新，含椭圆画法

$ D$ {! p2 L# d& @2 [, Q谢谢W版，刚看到，已下载学习。
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周建朝
发表于 2015-3-23 19:52:06 | 显示全部楼层 来自： 中国北京
完全看不懂
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keilei001
发表于 2016-2-23 00:28:41 | 显示全部楼层 来自： 中国广东肇庆
本帖最后由 keilei001 于 2016-2-23 00:32 编辑 , I' I0 k+ R/ d7 I' d: u0 K
woaishuijia 发表于 2015-3-20 01:58
- p1 q+ o/ y8 p( D" Y+ n$ s" Q错了，有三个解

  ?0 @, c7 R) l* }0 h7 I版主数学了得，方程式也排得很漂亮，请教用什么软件编辑方程式的呢？
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