求证PBC为等边三角形。

xiaojunxue

# d; `' ]6 |5 T5 B$ H+ b
一道证明题，看看各位对学过的几何还记得多少。:):)

大隐于市

这个证明不难吧，稍微用三角函数关系就能算出来。
! }5 ^" o7 N, N

证明

具体过程如下：
% d! U% l  N9 V作PQ垂直AD于Q，CH垂直DP于H。设正方形边长为a。
则有：DP=a/(2*cos(15°))
在Rt三角形CHD中，有DH=a*sin(15°)
2 B- f) P% V$ e3 Z而sin(30°)=2*sin(15°)*cos(15°)=1/2
; O7 t8 B( H! ~4 J$ T6 x) D所以：sin(15°)=1/（4*cos(15°))
, o6 Q* i, w) [: C( v* t$ _3 \" s$ K所以：DH=a/(4*cos(15°))=DP/2
/ c. ?8 v4 e7 `! p4 K所以：三角形CDP为等腰三角形
9 Y5 x. }5 w4 ]- n  H+ c0 ]所以：CP=CD=BC
8 E1 g1 v$ S# o同理可证：BP=BA=BC
+ [4 e% M1 y% l% v+ y所以：三角形PBC为等边三角形。

9 x4 @  C, B( q. i' Q; f7 V# Q

juestice

1、过B以AB为直径画圆
2、以AC中点为圆心，过A画圆
3、两圆交点为Q点。
4、因QBC为为正三角形。所以角BQA和BAQ都为75°。所以角QAD和角QDA都等于15°。
5、所以Q和P点重合。
. n- b9 n  m9 Z) T+ K4 j6、证毕。

zyyyyp

1.AP=PD
2.角BAP=CDP
3 t, ^! K4 Z8 S. i7 E$ m% _3.AB=CD
; W1 s5 q$ q* c7 D8 v8 d% ]- e三角形BAP全等CDP
$ U/ t% b. E3 _3 ]4 M% x所以BP=CP
角BPA=角CPD=角BAP=75度
1 P5 U4 J1 I; R8 f+ s( x  J: Z再证明角BPC=60度就可以了。
6 ]" k& c( _3 E' \$ v& N" b5 X角APD=180-15-15=150度
$ Q3 b+ F; U2 a1 k角BPC=360-75-75-150=60.
6 \6 o9 g% d6 i% |6 eBP=CP
4 n4 V4 n$ n/ h3 IBPC为等边三角形。

# T. N7 i( L7 f
7 H' h& S, z5 d4 {+ l

793879363

哎，以前学的都忘了

xiaojunxue

3楼朋友的证法应该是最简单的。充分利用了反证法。

可以把前两面句表述为：
' R4 }5 I& e3 }) w4 i1、以B点为圆心，以AB为直径画圆
2、以C点为圆心，以CB为直径画圆
) ^: w$ S, ]) j- c2 [3 C
后面的按照3楼表述即可。

gorilla

" c6 r* L9 |( n, p0 p; e2 Z
我来给个初二学生可以理解的证明：

# Q* |. M1 g9 C% U* D5 Q以AD为边向外做正三角形ADQ，M、N分别为AD、BC的中点
则QP垂直平分AD，角QAP=60+15=75度，角QPA=75度(90-15)，QP=QA=AD
QM=QP-PM=MN-PM=PN
AM=BN
; k  G4 u, c& t6 A6 A直角三角形AMQ全等于BNP，BP=AQ=BC
BP=CP，
- a' W& z2 e# d. R) y- K三角形BCP是等边三角形

xiaojunxue

7楼方法与3楼的异曲同工，也挺好的。

flowerinrr

; H* z- w% m7 W' g, r
初中的问题啊 !!!