求圆环体的体积计算公式，比如O型圈

hux0730

8 n1 ]' o" Q" a/ S. W% Y* I
有例题如下所示，但我要求的是：求由圆（半径为r）绕y轴旋转一周所得环状立体的体积，设圆心距y轴的距离为R．
# D" _4 T1 R2 M% b我用积分公式推导了半天，怎么也搞不出来。
. ~/ l. F2 f; Z0 j# _/ @体积应该为int(sqrt(-x^2+2*R*x-(R^2-r^2))*x,R-r,R+r)
与一般所说的2*pi*R*pi*r^2，化简为2*pi^2*R*r^2有没有差距？

补充内容 (2012-10-7 20:55):
问题已解决，请看10楼提供的方法。

hux0730

# D8 P! [' {2 w4 m+ h$ m" @
从维基百科中查到一个 古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理，链接见：
4 ^' j8 K6 d$ i% Y. Ghttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%88%BE%E4%B8%81%E5%AE%9A%E7%90%86
) P$ j+ z/ x% k; M3 b9 i由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，等于平面形状面积http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png乘以平面形状的几何中心经过的距离http://upload.wikimedia.org/math/9/7/5/975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png的积http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18d19fad3c95ade1c4967ec502a0284.png。

从英文解释中看到：

the volume of the torus with minor radius r and major radius R is

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17570773cdcdac01efba7acb0477828.png

celia

用CAD画出来，测量一下体积就行了。
或者查手册，上面就有各种形状体积计算公式

hzzpy

随便用个三维软件 绘制后可自动计算出体积的，不仅仅是规则形状体，不规则的也可以计算出
- C2 R  {2 B) D  r如PROE  SOLIDWORKS等都可以

TKG-09

V=2π^2 r^2 R

gaoyns

圆环体的体积也可用下式计算：
5 c  W/ g- W7 T5 j' g6 H8 @) G/ ?V=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
4 o* s6 V" E2 A; d/ O式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直径。

l231463xg1

对我很有帮助，谢谢

hux0730

gaoyns 发表于 2012-9-22 10:42 static/image/common/back.gif
: Z  w5 ^! E* B# A0 I! F  h圆环体的体积也可用下式计算：
V=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直 ...

3 H" k; F/ d% U. T8 f# I# b% p' i' j这个公式与4楼的公式是一样的，
& X& V! p* r& f2*pi^2/4/2= 2.4674。
9 [& c- B: q4 n/ b8 g; A& @
( c4 p% K2 \. x9 I  H我在开篇的时候也提到了这个公式，2*pi^2*R*r^2。

诸位都是工程师啊，不习惯数学推导，习惯引经据典找到答案的依据。看来这个数学问题不好解了。

wwll13

你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-25 09:18 static/image/common/back.gif
你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：
  U  w' u  M1 w: U3 O
5 V$ _7 J- \4 {. N任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入，整理得到2arcosθ＋2brsinθ＝r^2＋a^2＋b^2－R^2。
6 q' X3 `$ T$ x1 C不过这样的表示方法很麻烦，用极坐标表示的话极点一般不选在原点，有以下两种常用的选择：
1）极点选在圆心，这样就令a和b都为0，可将方程化简为r＝R，θ∈〔0，2π）；
2）极点选圆上一点，圆心在极轴上，则方程为r＝2Rcosθ，θ∈〔－π/2，π/2〕；
3）极点选圆上一点，极轴为圆的切线，则方程为r＝2Rsinθ，θ∈〔0，π〕；
根据不同的用法选不同的极点。
7 d) p  w; t; f  J+ r
  p6 I2 d) t5 W9 ^* ^2 a基本说来，1、2、3三种情况用直角坐标系与用极坐标没有区别。而我说的圆环体积应该不是这样这三种情况中的一种，如果你有比较好的解法，请详细阐述一下。

tangcarlos3d

% h/ A: A& X; x/ A% e' `
4 |8 Y& D/ E% \# G. q用极坐标方程做顶级份要简单些，角度的积分下、上限分别是是0、PI，再将结果乘以二即可。另外也不要用任意位置的圆，用特殊位置可使计算简化。

tangcarlos3d

参考例题

wwll13

' z' E* {7 T+ k- o! R* t- H& d

hux0730 发表于 2012-9-25 19:39 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
1 z# a$ k' p+ p2 Q; \8 R, m% `5 N* e这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：
" E' M" i) r8 R1 d4 M. [: k
  r' [, b$ U3 e3 b5 k任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将 ...

" A# c) i: Z$ ?5 g( n' ]/ u9 A" X我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单
符号太麻烦人了
  

tangcarlos3d

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
: F/ s' z/ z. q% I我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

对称图形，用一半图来积分，结果再乘以二简单些。

hux0730

tangcarlos3d 发表于 2012-9-25 22:33 static/image/common/back.gif
参考例题

兄弟，我要积分的是绕y轴圆形，而且圆的起点不在y轴上。

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
' b. e$ O# h) a* g0 ~5 o我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

2 Q/ x6 `$ ?/ [" O& F1 G0 H我不太理解“面积pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积”。您是把这个微元看作圆柱体来算的，这种说法不太严谨，您怎么知道刚好就是R*dθ就是微元的高，而不是1.1*R*dθ是微元的高。

请看我10楼提出的古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。这个定理一并解决了旋转图形是椭圆，三角形等各种情况。

cnxiaomao

直接用UX UG画出来，然后在软件里面算面积快的很啊！
& ]) r5 P( ?3 ]图要是不复杂LZ你把图发给我吧，我直接帮你算出来就OK了、

hux0730

问题已解决，请看10楼提供的方法。

liusheng30

笨办法一个。O型圈截面是圆的，先计算以这个圆的外切正方形为截面的空心圆柱体的体积，就类似一个垫片的那种，然后乘以pi，再除以4。因为圆形截面的面积是其外切正方形面积的（pi/4）倍

LZY13981299417

用三维软件将图画出来一表就知道了

马尔马拉海

不做高数很多年了，看了有点头晕。

hux0730

马尔马拉海 发表于 2013-4-1 09:58 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
7 s; `& I0 T9 T5 |) P& E# m9 A不做高数很多年了，看了有点头晕。

$ c9 D; n( \0 X6 z$ ~8 \

高等数学用处很大，从发布这个帖子到现在已经过去了半年，我已经成功学习了理论力学中的动力学部分，并成功解决了不少振动问题。
5 A. V2 W- R8 x6 |2 l微积分、向量代数（线性代数）、概率论确实是工程方面的基础课程啊。望有志于工程的同志们好好研究。活学活用。