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发表于 2007-7-24 11:35:56
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来自： 中国北京
伯努利方程及应用
第7讲：伯努利方程及应用
?( ]) o: j% c) f- u+ q一 、本课的基本要求
! c4 ?2 u& n$ v: o3 _
# L3 h9 ^% z( x& p. U8 x7 r2 _⒈了解欧拉方程的适用条件，伯努利方程微分式的物理意义。
8 [9 F A$ g) b% f0 |+ u8 _6 Z/ q- m% G5 ^, u- @9 J! Y
⒉掌握伯努利方程积分式的形式，适用条件，物理意义。5 h8 a1 H6 ?; h3 w. w
8 R. z; \( ^+ Y# c
⒊掌握管流伯努利方程式的应用。
" s3 h3 q3 W% T) W, e5 Y; G: A6 u4 }0 h
$ e8 ?5 P7 D d5 n二 、本课的重点、难点：" J4 M2 D% h1 a3 w/ E% b
- Q, k5 X9 a% q* k) m. D/ z重点：管流伯努利方程式的应用。9 }" l ^" h3 h, {( U4 e" e
w- L% I: h: S( V8 o难点：管流伯努利方程式的应用。
6 `. F& C/ N4 j. k% A O/ ]' e; F) k% c7 f
" U% y# I- |, ~$ I K+ i. t1.3.3 理想流体动量平衡方程式--欧拉方程（ Eular equations ）
9 H( a8 |' \) ~# R; C- P$ C |5 n2 r; s
理想流体：没有粘性的流体， 。
0 [' m- E3 n2 ]- h/ s# y3 ?- U) F; M7 M# \) v8 Y) w
实际流体都具有粘性，提出理想流体的意义何在？简化：
\1 i; J! d/ u+ I$ P8 }$ E2 k1 ]5 i, `! l) `, _
① 时， N-S 方程简化为欧拉方程 (1-3-12 a ) P36 X* A7 I9 Z+ G7 I) Y, N" w
; b, _3 t* B Q
② 稳定流动， (1-3-12 b )+ L& o2 m. z8 K( m0 [- p/ Z4 \
0 A' V+ n+ p( ~- x% c
③ 单位质量流体 (1-3-12 c ); a4 U6 E$ L5 m0 d6 c7 k
; l( Z2 L' [$ s& p+ s
* ?& O6 ^: m' l& w
( _: H- g k$ }- R* F' g: | y" [" k欧拉方程适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体 ( 元体范围内 ) 。! T, m8 M: z1 S9 R9 B
3 P y; M3 b4 r2 n* _# k1 C5 u: B1.3.4 欧拉方程的简化 ¾ 伯努利方程（ Bernoulli equations ）5 Z. w+ k! x, C. ?! k' B
. }4 }6 @. t8 V# O' K
⒈ 伯努利方程式的微分式9 v J6 Z6 j1 `+ l" {
0 X. |/ [0 N5 L' A# ?2 r; r& S4 X
在流场中，流体质点于流线方向上具有一维流动的特征，对于理想流体，在稳定流动的条件下，沿流线方向作一维流动的动量平衡方程式可由欧拉方程简化处理。处理过程中用到两个概念。! ^7 Y* g: n% |) d2 [ I+ K6 n
4 o! _. `" C6 a# `) c. {
① 全微分
" O* I" X% K4 U- u5 u) j8 Q8 X; V" ~* B% `+ H; t, ]
根据全微分的定义，在稳定流动下，有：/ O4 V$ g3 h O' a* v
4 s) p$ |% X6 l1 F
( ~. u9 f8 G! J5 r$ r4 i9 j
; {( l* [6 Y2 t# g; ^
2 r7 O* s3 Q1 y6 t- {* C3 q
3 g' y/ N$ G1 o) V- `( @
) a& V. ?+ @7 q
3 P8 u- T# O* j' j# o2 ^3 Z: m+ r, T) U$ u9 ^. }$ a$ j ?
/ h" k$ k t* r( f
& b* o. |, }5 Y. i. d9 }
' V3 ~. r' P+ T) q8 T
同时， " L2 j3 A! G; e) o
( l" n0 j0 l# G* Y4 X7 ]2 e则 3 s' ~2 C; O/ G+ \
. b; i' X, F, T
②
+ M8 I% G# R( ?$ t9 N1 O
2 k& T6 B* W2 F# s# t7 C
( K8 K2 k$ \" o( n) Y1 @6 ~) l7 {. @ p: l& P9 y3 v2 U3 P( T
则
1 L" W+ h: M6 a' C) n- q# C3 f+ b }1 P; y- T2 f# |
" ~( b6 J+ [4 N8 C) X+ K& h& j% q. M# t' {( B7 B
4 b! \7 W4 ^* D! l) t* ^- u- K+ k7 F" [0 \# c" d! Z# A
理想流体、稳定流动、沿流线方向的欧拉方程式，称为伯努利方程式的微分式。
: B( i: ~7 s7 f
3 f+ S9 ?7 o& Z⒉ 伯努利方程式9 D+ H1 N- H- ]$ e2 s* o
) W; a9 v5 Q! Y$ y- J⑴ 方程式的导出
- b: r+ D) V! N3 i
& Y8 q/ B4 O0 K1 M' P* ?: f8 w由伯努利方程的积分式来确定运动过程中的动量平衡关系：图 1-3-7 P38/ J9 ?# B2 V1 y* s
* h# N) i: Q3 i. w3 \
. |$ g8 P* y! b$ {& ~+ {7 j- D# ]
! Z& P# L. Z: p
或 7 Y# [5 i% l* K2 R6 E5 x/ ~, \
8 c! ~ K8 c9 h0 s4 D3 b+ i7 A⑵ 方程式的讨论
8 W9 j1 L* N8 l7 K$ \1 V! A6 Z6 b' F' _# g
适用条件：理想流体、稳定流动，不可压缩流体、沿流线方向。" K( P8 L% h/ ~/ K3 T
) B: A0 R* [5 ~物理意义：① 单位：机械能守恒定律的体现。/ ^1 R1 l0 Z" B/ C2 @- a
5 `) t9 J' n2 c# i. z8 u ② * x$ I$ a6 ^2 C6 g* W+ v0 g
0 f) a3 o! A! w; q7 ?! A
③ 各个能量之间可以相互转换，对理想流体而言，其总和不变，粘性流体在流动过程中存在能量损失—静压能的降低。7 Y, c$ C5 ~2 z2 O( M3 k0 N8 ~
: R9 y4 x& }& T; _5 h0 [' u⒊ 伯努利方程式在管流中的应用 图 1-3-8 P39; v! a) M2 X1 J* N; M; P
- s2 ^) b1 q5 @) ^6 ]; ]0 h
一般管流的伯努利方程为
$ K6 V% Z/ y! D* u" ^0 Q1 e2 t4 B: r
限制条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向。
; w! K5 s; t% z' O! `1 n# o' Q6 [$ u k, V& o
对于实际流体：
* D ~: `6 X" I. u. M5 u3 e Q W6 j' t* j
% o8 a! Q, h& |) Z+ Y
8 H7 q. @( D% V" ?7 P9 |, J式中 --能量损失
' n$ R; k* }' p/ E' \9 X2 ?( g0 f* J
j5 t1 K R. W% L4 O h$ ?) c) j
' p5 c- q" j( P$ r) E2 o5 {7 z式中 -- Pa. 。 L% e9 Y: \. O
$ S6 Z& o5 E7 w, h0 Y
伯努利方程应用于管流时的几点说明：
7 N7 c' V, I# a7 {# b5 E# u) U. c+ c2 [
⑴ 管道平直、流动为缓变流 ( 流线趋于直线且平行 ) 。反之，为急变流。
. x: t3 x) }9 e- `
& {$ ^+ q9 l7 d' l⑵ 关于动能的计算2 M; z) V+ e1 v& B5 _
# b( |$ u3 G+ U
/ p. {7 z( o3 A& B j' O/ J9 \# h- Y; a q: w2 s }- v' c. i1 h. q S
式中 a --动能修正系数， 。- z' P9 }- T7 @3 a. U! j! B4 @
1 _, U8 O" a" ~
实际管流的伯努力方程应为
$ ` Y4 S; @% |: U6 T3 a2 X- D0 z9 T
# Z. K" v* Z: j( S- a* }! S: \! o+ n- `
⑶ 应用管流伯努力方程应注意：
6 \$ G, x+ a& x: `( N
# B7 y, L5 r3 ~( @4 c% Z① 适用条件：理想流体、稳定流动、不可压缩流体、沿流线方向、缓变流。( _6 l7 b# k" T
' _8 q! f' D! _9 b- i8 U4 l② 工程上大多数都是紊流， a » 1.0 。0 W( D) a& q4 [7 r: N9 R' P. ]
% d( c* E! H. g, \
③ P1 、 P 2 可以是绝对压力，也可以是表压力。 绝对压力与表压力的关系？
- a) A/ @4 _" M4 b9 D9 t+ Z) i
0 Z6 v0 m# K+ A8 M# V: m: e& X④ w1 、 w 2 、 r — 实际状况下。 实际状况下的流速、密度公式？
?& u) t$ k6 K4 A! A* i+ @! |" S1 r) o4 g
⑤ z1 、 z 2 取决于基准面。
" }) G2 U6 N3 c1 y. k8 g# N+ P R' _* G+ |" C; r# v
伯努利方程式在工程上的应用极为广泛：流量测量、喷嘴设计、烟囱设计等。共性？' `9 J# L6 M$ s- a! o
8 c. n/ h7 z) d6 ]应用时：方程联解。 |
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