求圆环体的体积计算公式，比如O型圈

hux0730

有例题如下所示，但我要求的是：求由圆（半径为r）绕y轴旋转一周所得环状立体的体积，设圆心距y轴的距离为R．
我用积分公式推导了半天，怎么也搞不出来。
( `6 W/ ~6 @/ @! |* q2 ^2 _2 ]1 K体积应该为int(sqrt(-x^2+2*R*x-(R^2-r^2))*x,R-r,R+r)
3 j" m0 |9 h7 Q$ w9 h与一般所说的2*pi*R*pi*r^2，化简为2*pi^2*R*r^2有没有差距？
: i6 [2 A7 ?* x

/ q' x  W1 h7 \9 i! ?4 t- v
; [8 |- x9 q7 P" t补充内容 (2012-10-7 20:55):
问题已解决，请看10楼提供的方法。

hux0730

- w4 N8 l1 H) \+ m5 y/ v$ a从维基百科中查到一个 古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理，链接见：
- J3 U) p# T. Q9 a9 v. ghttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E7%88%BE%E4%B8%81%E5%AE%9A%E7%90%86
3 M" a  K, ]3 u8 N& a# Q# H6 [由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png，等于平面形状面积http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png乘以平面形状的几何中心经过的距离http://upload.wikimedia.org/math/9/7/5/975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png的积http://upload.wikimedia.org/math/b/1/8/b18d19fad3c95ade1c4967ec502a0284.png。
) H$ _3 \8 W7 F2 m, u8 s
从英文解释中看到：
& P6 P1 i1 W$ i

the volume of the torus with minor radius r and major radius R is

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/7/b17570773cdcdac01efba7acb0477828.png

celia

用CAD画出来，测量一下体积就行了。
或者查手册，上面就有各种形状体积计算公式

hzzpy

随便用个三维软件 绘制后可自动计算出体积的，不仅仅是规则形状体，不规则的也可以计算出
如PROE  SOLIDWORKS等都可以

TKG-09

V=2π^2 r^2 R

gaoyns

圆环体的体积也可用下式计算：
) E0 b. y* K- X& hV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
+ z. M* h0 G! e2 |) y! S  F式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直径。

l231463xg1

对我很有帮助，谢谢

hux0730

gaoyns 发表于 2012-9-22 10:42 static/image/common/back.gif
4 w) C$ b0 h) H3 @$ J  V# K7 l圆环体的体积也可用下式计算：
5 h& v/ O$ s- ?/ D& A  W" f" aV=π^2 d^2 D/4 ≈ 2.4674 d^2  D
/ r# r, ?" L8 m. F7 U式中：d为圆环截面直径；D为圆环中心圆直 ...

% ?( X! w: ?" W$ C9 z这个公式与4楼的公式是一样的，
9 W5 y  N0 N  b+ [! |: J2*pi^2/4/2= 2.4674。

我在开篇的时候也提到了这个公式，2*pi^2*R*r^2。
% w5 K4 A' S4 U, e
诸位都是工程师啊，不习惯数学推导，习惯引经据典找到答案的依据。看来这个数学问题不好解了。

wwll13

你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-25 09:18 static/image/common/back.gif
7 v% v% J( u2 }; h: r  \" W你是想推导啊,哈哈,角度的那个坐标系,

( J' G7 ^  \! N. z4 h这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：

任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入，整理得到2arcosθ＋2brsinθ＝r^2＋a^2＋b^2－R^2。
不过这样的表示方法很麻烦，用极坐标表示的话极点一般不选在原点，有以下两种常用的选择：
% f1 c5 ?4 z2 D, h) s. U. Q1）极点选在圆心，这样就令a和b都为0，可将方程化简为r＝R，θ∈〔0，2π）；
; R4 d9 L. f$ N& t; I/ Y4 y2）极点选圆上一点，圆心在极轴上，则方程为r＝2Rcosθ，θ∈〔－π/2，π/2〕；
3）极点选圆上一点，极轴为圆的切线，则方程为r＝2Rsinθ，θ∈〔0，π〕；
根据不同的用法选不同的极点。

基本说来，1、2、3三种情况用直角坐标系与用极坐标没有区别。而我说的圆环体积应该不是这样这三种情况中的一种，如果你有比较好的解法，请详细阐述一下。

tangcarlos3d

0 @0 Y7 J+ x8 J& s
用极坐标方程做顶级份要简单些，角度的积分下、上限分别是是0、PI，再将结果乘以二即可。另外也不要用任意位置的圆，用特殊位置可使计算简化。

tangcarlos3d

参考例题

wwll13

1 @, ~* c# n8 Y' u! W' b% ]

hux0730 发表于 2012-9-25 19:39 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
1 j1 `" a' H0 Y. [/ g; j这位大哥所说的可是极坐标系。我查了下，如下：

" l/ z  P; c) k8 p" [" o8 ?任意圆的直角坐标为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝R^2，将 ...

9 t! L/ ^7 M/ {7 F7 w& T我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单
! s  ]4 O- J6 c2 H( e$ H; W) ]$ \: B符号太麻烦人了
  

tangcarlos3d

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

6 z) w7 [" y( T! a9 f/ n5 E对称图形，用一半图来积分，结果再乘以二简单些。

hux0730

tangcarlos3d 发表于 2012-9-25 22:33 static/image/common/back.gif
参考例题

兄弟，我要积分的是绕y轴圆形，而且圆的起点不在y轴上。

hux0730

wwll13 发表于 2012-9-26 10:52 static/image/common/back.gif
- j' l+ p( W) z, K' C% L- q" k我晕,你咋整的,首先面积知道pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积,然后0到2pi积分,你看看对不,我觉得简单 ...

+ G. _* y8 w" ^/ {" Z我不太理解“面积pi*r^2,然后再乘R和微角度,就是体积”。您是把这个微元看作圆柱体来算的，这种说法不太严谨，您怎么知道刚好就是R*dθ就是微元的高，而不是1.1*R*dθ是微元的高。
3 j+ V* x( z0 }
- G, b3 a% Y$ f  S- K请看我10楼提出的古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。这个定理一并解决了旋转图形是椭圆，三角形等各种情况。

cnxiaomao

直接用UX UG画出来，然后在软件里面算面积快的很啊！
1 Z+ n0 D3 ~' M1 G图要是不复杂LZ你把图发给我吧，我直接帮你算出来就OK了、

hux0730

问题已解决，请看10楼提供的方法。

liusheng30

笨办法一个。O型圈截面是圆的，先计算以这个圆的外切正方形为截面的空心圆柱体的体积，就类似一个垫片的那种，然后乘以pi，再除以4。因为圆形截面的面积是其外切正方形面积的（pi/4）倍

LZY13981299417

用三维软件将图画出来一表就知道了

马尔马拉海

不做高数很多年了，看了有点头晕。

hux0730

马尔马拉海 发表于 2013-4-1 09:58 http://www.3dportal.cn/discuz/static/image/common/back.gif
2 F3 k. d% I, L$ x% E6 _不做高数很多年了，看了有点头晕。

- l9 T; z' F7 K0 a1 b! K

高等数学用处很大，从发布这个帖子到现在已经过去了半年，我已经成功学习了理论力学中的动力学部分，并成功解决了不少振动问题。
. G, A- K  V" x5 J9 l2 Z" C微积分、向量代数（线性代数）、概率论确实是工程方面的基础课程啊。望有志于工程的同志们好好研究。活学活用。