CAD几何作图竞赛题（2015年7月），竞赛结果已公布

oxm44

8 c% X/ {8 Z8 o5 K+ Z1 p

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:53
* g0 L8 n: W. j3 K请教大师，为什么ag是中垂线呢？

( J5 M/ Q, ?( v/ D( X( N
这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平行且垂直于ag。故有ag⊥DC
) T  G" q  y/ i5 ~- f+ U

+ d0 P9 q: N( m- ^6 f

gongwen0519

# Q% _! p3 x- p5 d/ i% ^# J
倡导纯几何作法：
6 Q/ D7 q! Q+ K3 V4 q. T7 ^8 T, {

& l( m7 w8 g2 S! M( i9 q9 m一、主体部分：
3 L( |" s6 L8 b, A1 m; p



; T4 R$ n2 J8 K, C
: r! h. |6 I6 e# `$ D. u5 B二、小篮部分：

' E/ t5 D5 A  W( k9 F
$ e1 b; o8 `9 K' I# m# O/ v' R- ?


! ?' e+ ]& M5 [3 N# s; q7 B. [8 ^

6 S" S  E# d7 e3 V) E! ]" T
  ~. I' q. a) J+ @

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 12:45
# R2 @: b% T  B' {. E9 I倡导纯几何作法：

大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

gongwen0519

chenmik 发表于 2015-7-25 13:29
大师能麻烦您，回答一下我在25#的问题吗？谢谢

( D2 N& h- P) ^7 N一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：
  b, O$ ^. r5 G& d/ g! X- P$ d
# r$ l3 C+ w  G# D7 \
7 y& u$ e+ W  t- W, R4 {
其中各次系数分别如下：
3 X6 J& w0 Q  `( x
A8=4096*(a-b)^4
) I  S7 M; Z: w( x5 g. V1 Z
A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)

, v$ _1 A. _( `5 b) x& M% FA6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
$ f* {' y# W( M- J; h
A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)

A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
1 h- e+ ]+ i/ b! D
/ @4 K9 E0 ^8 t9 E: p* qA3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
! w2 t* H" M; b, Y3 E% X
A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)

A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
' g: d' o% K- B+ y7 D
A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

; U6 `" u+ V' a9 S

1. A8=4096*(a-b)^4
   
2. 
   2 k1 R0 @$ a% P/ O% W6 Y/ b
3. A7=4096*(a-b)^2*(-a^3+b*a^2+b^2*a+2*h^3-b^3)
   
4. 
   
5. A6=-5120*b^2*h^4-4096*b^4*h^2+12288*h^2*a^3*b+4096*h^3*a^2*b-6144*a*b^4*h+2048*b^5*h-16384*h^2*a^2*b^2+4096*a*b^2*h^3+10240*a*b*h^4+4096*a^2*b^3*h-4096*h^3*a^3+4096*a^3*b^2*h+4096*a^5*b-5120*h^4*a^2-4096*h^2*a^4+12288*a*b^3*h^2-4096*b^3*h^3+2048*a^5*h+24576*a^3*b^3+4096*h^6-16384*a^2*b^4+4096*a*b^5-6144*a^4*b*h-16384*a^4*b^2
   7 s9 S# a, S: m  A: x+ O
6. 
   % s, E% P; [/ N" i! k4 w
7. A5=(4*a*b^5-5*h^2*a^4-16*a^4*b^2+2*h^2*a^2*b^2+b^2*h^4+8*a^3*b^2*h+24*a^3*b^3-16*a^2*b^4-2*a*b*h^4-5*b^4*h^2+8*a^2*b^3*h+4*a^5*b-10*a*b^4*h+4*a*b^3*h^2+2*a^5*h+h^4*a^2+4*h^2*a^3*b+8*h^6+4*a*h^5-10*a^4*b*h+2*b^5*h+4*b*h^5)
   
8. 
   ' g1 i! ]+ Z, s
9. A4=64*h^2*(16*b^3*h^3+9*h^4*a^2-11*b^4*h^2+9*b^2*h^4+16*a*h^5+16*b*h^5+8*a^5*h+16*h^3*a^3+8*b^5*h-20*h^2*a^3*b+32*a^3*b^3-16*a^2*b^4-56*a^4*b*h-16*a^4*b^2-56*a*b^4*h+48*a^2*b^3*h+48*a^3*b^2*h-11*h^2*a^4-16*h^3*a^2*b-18*a*b*h^4-20*a*b^3*h^2+62*h^2*a^2*b^2-16*a*b^2*h^3+20*h^6)
   " N3 i- Q: t5 n7 G& W
10. 
    
11. A3=64*h^3*(-b^5*h+5*b^4*h^2-a^5*h+a^6+4*h^4*a^2+b^6+5*h^2*a^4-h^3*a^3+4*b^2*h^4-b^3*h^3+19*a*b^4*h-18*a^3*b^2*h-18*a^2*b^3*h+19*a^4*b*h-a^2*b^4+9*h^3*a^2*b+2*a*b^5+9*a*b^2*h^3+2*a^5*b-a^4*b^2-4*a^3*b^3+4*a*b^3*h^2+4*h^2*a^3*b-18*h^2*a^2*b^2)
    
12. 
    ( G( D9 X* Z' e# b! L8 v, C
13. A2=-16*h^4*(2*b^6+2*a^6+6*b^3*h^3+9*b^4*h^2-2*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a*b^5+4*a^5*b-8*a^3*b^3+12*b^2*h^4+2*b^5*h+2*a^5*h+4*b*h^5+4*a*h^5+6*h^3*a^3+9*h^2*a^4+12*h^4*a^2+10*a^4*b*h+4*h^2*a^3*b-10*h^2*a^2*b^2+4*a*b^3*h^2+10*a*b^2*h^3+10*a*b^4*h+10*h^3*a^2*b-12*a^2*b^3*h-12*a^3*b^2*h+5*h^6)
    3 j4 o, ?, v( b2 |9 F* O
14. 
    $ x3 ?( k/ L: y- f  d- [. X
15. A1=8*h^5*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+h*a+2*h^2+2*a*b+b*h+b^2)
    
16. 
    
17. A0=-h^6*(a^2-2*a*b+b^2+h^2)*(a^2+2*a*b+b^2+h^2)^2

复制代码

% @% F, p7 o; d% p, ?# n0 g
4 h* C' m( C) b' }$ f0 P$ v

chenmik

gongwen0519 发表于 2015-7-25 18:36
一般情况下是无尺规解的，除非直角梯形的高等于其上下底之和：

7 _$ I' z) z% k: R, J多谢大师解答。原来是这样，我想了好久。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-24 12:44
7 x0 T1 `, X2 E/ c* m! F$ K我一开始也以为R80圆弧就是与两个圆a相切，后仔细看图后才知道是下图示与1、2相切：

6 d; u7 A% N+ {8 D/ \# G& k! J" [不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-29 07:44
不仅1、2相切,且R80圆弧与两个圆a相切,要不会欠约束.

; o+ p# G% i& _3 C% Z  Q8 d, F朋友，请仔细看原题目图示中心线。
另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-29 08:32
  @5 w; w) |. x! C1 P& ~" ?朋友，请仔细看原题目图示中心线。
8 g* X# C+ B& }) p' c7 r" w5 p另，如与三个圆相切，再加上R80条件会过定义了。

" ?6 k, c7 Z+ i2不和a相切，不会过定义，

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 07:59
, I! a9 T3 J6 h% H  {  P5 r4 g2不和a相切，不会过定义，

$ s, L; s8 j* }3 Y3 O% Q圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

fgg913

我爱用acad 发表于 2015-7-30 08:06
7 \) v1 T1 p# C4 h圆弧2是三个圆a的外接圆，R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆。
你按我说的画，面积就应该对了。

我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时, 1会与圆a相交,看起来不美,我放弃了这种方法.

oxm44

"我爱用acad"的理解是正确的！

我爱用acad

fgg913 发表于 2015-7-30 09:00
我和你的差别是,您是圆弧2与圆a的相切,我是圆弧1与圆a的相切.这两种方法我都画过,因圆弧2与圆a的相切时,  ...

  v3 h. g7 z. r  F& F, \  ^) y如果不是用“R80弧是最上边的圆a与弧2外切圆”方法作图，就不符合原题意了，面积也不对。
这与美不美无关了。

gongwen0519

oxm44 发表于 2015-7-24 18:32
0 A* b6 j3 b! S/ Y, x. a这是个特例，见下图，∠A、∠B的角平分线正好交于斜边DC的中点a,而与DC边相切的两圆圆心连线pj必与DC平 ...

' n8 B+ I, C) Q# ^: J  I* X( R- a9 H补个简要：
; k' M' {' ^; i

/ x. x, ?4 A. k3 C/ N  {! V( z
& x3 k* w  Y. F6 ^. _

gongwen0519

5 ~* H+ g3 T! ]3 K- H3 ?8 w图形中上下两部分是全等的，显然mm垂直平分nn。
0 c) u7 J: M2 K

/ @! k" Y0 v- F/ b: d3 i
8 f& ]0 k% R' I" J- H& O! Q% Y$ _

oxm44

chenmik 发表于 2015-7-24 13:28
! w9 X3 W4 }, w# e四边形内四等圆相切是否有通解的几何作法呢？比如将200改成210，用19楼的方法解不了。

' t! E/ o/ F4 n9 w( j这是个特例，不能推广到一般。“特”在以下两点：1、必须是直角梯形，2、此直角梯形上下两底的长度之和必须等于直腰之长。唯有而此，方可确保两直角的角平分线交于斜腰的中点。

xuchaohui

来晚了。大神们已经画出来了。学习啊
. ]/ \" f: U2 V

topsjsn_2008

那条斜边的中垂线，把梯形分成了2个全等的四边形，才有了后面的解答